Проблемно-орієнтовані мови програмування, Детальна інформація

Проблемно-орієнтовані мови програмування
Тип документу: Реферат
Сторінок: 5
Предмет: Комп`ютерні науки
Автор: Олексій
Розмір: 0
Скачувань: 1067
Ряд (un,, де n прямує до нуля – називається абсолютно збіжним,якщо ряд, членами якого є абсолютні величини членів даного ряду (|un,|, де n знаходиться в межах від 1 до безмежності,сходиться .

Для того щоб ряд абсолютно сходився,необхідно і достатньо,щоб для будь-якого е>0 існувало таке no ,що для всіх номерів виконувалась нерівність (|un+k| 0 існує таке no ,що для всіх n> no і всіх p>=0 права частина нерівності менша е. Звідси випливає , що і ліва частина є також меншою від е.

Тобто для ряду виконується критерій Коші збіжності рядів тому ряд збігається.

Якщо ряд абсолютно збігається,то будь-який ряд співставлений з тих же членів,що і даний ряд,але взятий в другому порядку ,буде також абсолютно збіжний.

Умовно збіжні ряди .

E

H

I

Fлютно збіжний ряд називається умовно збіжним рядом.Якщо одна із множин {un+} i {un-} ,буде кінцевою , то, відкинувши в ряді відповідне кінцеве число перших членів ряду , одержимо залишок ряду , члени котрого будуть не від’ємні або не додатні , а в другому випадку не від’ємні після множення всіх членів на –1.І в цьому і в другому випадку , якщо вихідний ряд збіжний , то він очевидним чином абсолютно збігається .

Якщо ряд умовно збігається , то два ряди розбігаються .

ТЕОРЕМА Рімана .

Якщо ряд з дійсними членами умовно збігається , то , яке б не було дійсне число S , можна так переставити члени ряду , що сума одержаного ряду буде рівна S .

Нехай є члени ряду – дійсні числа і нехай довільно взяте число S .Дано ще один ряд .Наберемо декілька членів , щоб їхня сума перевищувала S , тобто позначимо через n1 найменше натуральне число , при якому виконується умова un+……+un1 >S . Тоді при n1 >1 ,буде мати місце нерівність un+……+un1-1 <=S .

Можливість вибору токого числа виходить із розбіжності ряду.Наберемо тепер з одного з рядів підряд декілька членів , щоб , порахувавши їхню суму , одержати менше S.

Теорема Рімана показує, що однією з основних властивостей кінцевих сум чисел – незалежність їх суми , від порядку доданків – не переноситься на збіжні ряди , на нескінченні суми .Також для умовно збіжних рядів існують теореми Абеля і Діріхле.

Признак Абеля.

Якщо послідовність {an} обмежена і монотонна , а ряд ( bn , де n лежить в межах від 1 до безмежності , сходиться , то і ряд ( anbn ,буде також збіжним.З обмеженості і монотонності послідовності {an} випливає існування кінцевої границі lim an= a+ an .Тут послідовність {an} – монотонна і наближається до нуля .

Сумування рядів методом середніх арифметичних.

Якщо заданий числовий ряд розбіжний , то інколи виявляється корисним визначити суму ряду не простим способом – як границю його часткових сум , а якимось іншим .

Одним з таких способів , називається сумування рядів методом середніх арифметичних . Для ряду ( un , де n лежить в межах від 1 до безмежності , зробивши з його часткових сум їх середнє арифметичне , при цьому , якщо існує кінцева границя lim Qn= Q ,

то заданий ряд називається сумуючим методом середніх арифметичних . Поняття сумування ряду методом середніх арифметичних є узагальненим поняттям збіжності ряду , сумування методом середніх арифметичних дає зрозуміти , що всякий збіжний ряд , який ми сумуємо методом середніх арифметичних йде до своєї суми .

Збіжність функціональних послідовних рядів .

Нехай у деякій довільній множині Х задана послідовність функцій , які приймають числові значення . Елементи множини Х називають точками . Ця послідовність функцій називається обмеженою на множині Х , якщо | f n (x) | <=c , і називається збіжною в протилежному випадку .

Рівномірне сходження функціональних послідовностей і рядів.

Функціональна послідовність називається рівномірно збіжною до функції f на множині Х , якщо для будь – якого е>0 існує такий номер no , що для всіх номерів n>no виконується нерівність | f n (x) – f (x) | < e .

Очевидно , що якщо послідовність рівномірно сходиться на множині Х до функції f , то ця послідовність збігається до функції .

Спеціальні признаки рівномірної збіжності рядів .

Якщо послідовність функції an (x) належить R , рівномірно наближається на множині Х до нуля і в кожній точці х належить Х монотонна , а послідовність функції bn (x) належить Х , так , що послідовність часткових сум ряду ( bn (x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , обмежена на Х , то ряд ( an(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , рівномірно сходиться на множині Х .

Якщо послідовність функції an (x) належить R , обмежена на множині Х і монотонна в кожній точці х належить Х , а ряд рівіномірно сходиться на Х , то і ряд ( an(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , також рівномірно сходиться на множині Х .

Степеневі ряди.

The online video editor trusted by teams to make professional video in minutes