Швидкі алгоритми сортування, Детальна інформація
Швидкі алгоритми сортування
I етап : побудова сортуючого дерева;
II етап : просівання елементів по сортуючому дереву.
Розглянемо приклад: Нехай масив A складається з 8 елементів (мал. 1, 1-а рядок). Другий рядок складається з мінімумів елементів першого рядка, які стоять поруч. Кожний наступний рядок складений з мінімумів елементів, що стоять поруч, попереднього рядка.
Ця структура даних називається сортуючим деревом. У корені сортуючого дерева розташований найменший елемент. Крім того, у дереві побудовані шляхи елементів масиву від листів до відповідного величині елемента вузла - розгалуження. (На мал.1 шлях мінімального елемента a5 - від листа a5 до кореня відзначений товстою лінією.)
Коли дерево побудоване, починається етап просівання елементів масиву по дереву. Мінімальний елемент пересилається у вихідний масив B і усі входження цього елемента в дереві заміняються на спеціальний символ M.
Потім здійснюється просівання елемента уздовж шляху, відзначеного символом M, починаючи з листка, сусіднього з M (На мал 2. униз) і до кореня. Крок просівання - це вибір найменшого з двох елементів, що зустрілися на шляху до кореня дерева і його пересилання у вузол, відзначений M. Просівання 2-го елемента показано на мал 3. (Символ М більше, ніж будь-який елемент масиву).
a6 = min(M, a6)
a6 = min(a6, a8)
a3 = min(a3, a6)
b2 := a3
Просівання елементів відбувається доти, поки весь вихідний масив не буде заповнений символами M, тобто n раз:
For I := 1 to n do begin
Відзначити шлях від кореня до листка символом M;
Просіяти елемент уздовж відзначеного шляху;
B[I] := корінь дерева
end;
Обґрунтування правильності алгоритму очевидно, оскільки кожне чергове просівання викидає в масив У найменший з елементів масиву А, що залишилися.
Сортуюче дерево можна реалізувати, використовуючи або двовимірний масив, або одномірний масиві ST[1..N], де N = 2n-1 (див. наступний розділ). Оцінимо складність алгоритму в термінах M(n), C(n). Насамперед відзначимо, що алгоритм TreeSort працює однаково на усіх входах, так що його складність у гіршому випадку збігається зі складністю в середньому.
Припустимо, що n - ступінь 2 (n = 2l). Тоді сортуюче дерево має l + 1 рівень (глибину l). Побудова рівня I вимагає n / 2I порівнянь і пересилань. Таким чином, I-ий етап має складність:
C1(n) = n/2+n/4+ ... + 2+1 = n-1, M1(n) = C1(n) = n - 1
Для того, щоб оцінити складність II-го етапу З2(n) і M2(n) помітимо, що кожен шлях просівання має довжину l, тому кількість порівнянь і пересилань при просіванні одного елемента пропорційно l. Таким чином, M2(n) = O(l n), C2(n) = O(l n).
Оскільки l = log2n, M2(n)=O(n log2 n)), C2(n)=O(n log2 n), Але З(n) = C1(n) + C2(n), M(n) = M1(n) + M2(n). Тому що C1(n) < C2(n), M1(n) < M2(n), остаточно одержуємо оцінки складності алгоритму TreeSort за часом:
M(n) = O(n log2 n), C(n) = O(n log2 n),
У загальному випадку, коли n не є ступенем 2, сортуюче дерево будується трохи інакше. “Зайвий” елемент (елемент, для якого немає пари) переноситься на наступний рівень. Легко бачити, що при цьому глибина сортуючого дерева дорівнює [log2 n] + 1. Удосконалення алгоритму II етапу очевидно. Оцінки при цьому змінюють лише мультиплікативні множники. Алгоритм TreeSort має істотний недолік: для нього потрібно додаткова пам'ять розміру 2n - 1.
1.2. Пірамідальне сортування
Алгоритм пірамідального сортування HeapSort також використовує представлення масиву у виді дерева. Цей алгоритм не вимагає допоміжних масивів, сортуючи “на місці”. Розглянемо спочатку метод представлення масиву у виді дерева:
Нехай A[1 .. n] - деякий масив. Зіставимо йому дерево, використовуючи наступні правила:
1.A[1] - корінь дерева ;
II етап : просівання елементів по сортуючому дереву.
Розглянемо приклад: Нехай масив A складається з 8 елементів (мал. 1, 1-а рядок). Другий рядок складається з мінімумів елементів першого рядка, які стоять поруч. Кожний наступний рядок складений з мінімумів елементів, що стоять поруч, попереднього рядка.
Ця структура даних називається сортуючим деревом. У корені сортуючого дерева розташований найменший елемент. Крім того, у дереві побудовані шляхи елементів масиву від листів до відповідного величині елемента вузла - розгалуження. (На мал.1 шлях мінімального елемента a5 - від листа a5 до кореня відзначений товстою лінією.)
Коли дерево побудоване, починається етап просівання елементів масиву по дереву. Мінімальний елемент пересилається у вихідний масив B і усі входження цього елемента в дереві заміняються на спеціальний символ M.
Потім здійснюється просівання елемента уздовж шляху, відзначеного символом M, починаючи з листка, сусіднього з M (На мал 2. униз) і до кореня. Крок просівання - це вибір найменшого з двох елементів, що зустрілися на шляху до кореня дерева і його пересилання у вузол, відзначений M. Просівання 2-го елемента показано на мал 3. (Символ М більше, ніж будь-який елемент масиву).
a6 = min(M, a6)
a6 = min(a6, a8)
a3 = min(a3, a6)
b2 := a3
Просівання елементів відбувається доти, поки весь вихідний масив не буде заповнений символами M, тобто n раз:
For I := 1 to n do begin
Відзначити шлях від кореня до листка символом M;
Просіяти елемент уздовж відзначеного шляху;
B[I] := корінь дерева
end;
Обґрунтування правильності алгоритму очевидно, оскільки кожне чергове просівання викидає в масив У найменший з елементів масиву А, що залишилися.
Сортуюче дерево можна реалізувати, використовуючи або двовимірний масив, або одномірний масиві ST[1..N], де N = 2n-1 (див. наступний розділ). Оцінимо складність алгоритму в термінах M(n), C(n). Насамперед відзначимо, що алгоритм TreeSort працює однаково на усіх входах, так що його складність у гіршому випадку збігається зі складністю в середньому.
Припустимо, що n - ступінь 2 (n = 2l). Тоді сортуюче дерево має l + 1 рівень (глибину l). Побудова рівня I вимагає n / 2I порівнянь і пересилань. Таким чином, I-ий етап має складність:
C1(n) = n/2+n/4+ ... + 2+1 = n-1, M1(n) = C1(n) = n - 1
Для того, щоб оцінити складність II-го етапу З2(n) і M2(n) помітимо, що кожен шлях просівання має довжину l, тому кількість порівнянь і пересилань при просіванні одного елемента пропорційно l. Таким чином, M2(n) = O(l n), C2(n) = O(l n).
Оскільки l = log2n, M2(n)=O(n log2 n)), C2(n)=O(n log2 n), Але З(n) = C1(n) + C2(n), M(n) = M1(n) + M2(n). Тому що C1(n) < C2(n), M1(n) < M2(n), остаточно одержуємо оцінки складності алгоритму TreeSort за часом:
M(n) = O(n log2 n), C(n) = O(n log2 n),
У загальному випадку, коли n не є ступенем 2, сортуюче дерево будується трохи інакше. “Зайвий” елемент (елемент, для якого немає пари) переноситься на наступний рівень. Легко бачити, що при цьому глибина сортуючого дерева дорівнює [log2 n] + 1. Удосконалення алгоритму II етапу очевидно. Оцінки при цьому змінюють лише мультиплікативні множники. Алгоритм TreeSort має істотний недолік: для нього потрібно додаткова пам'ять розміру 2n - 1.
1.2. Пірамідальне сортування
Алгоритм пірамідального сортування HeapSort також використовує представлення масиву у виді дерева. Цей алгоритм не вимагає допоміжних масивів, сортуючи “на місці”. Розглянемо спочатку метод представлення масиву у виді дерева:
Нехай A[1 .. n] - деякий масив. Зіставимо йому дерево, використовуючи наступні правила:
1.A[1] - корінь дерева ;
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021