Рекурсивні означення та підпрограми, Детальна інформація

кожна спадна за цим упорядкуванням послідовність елементів закінчується деяким мінімальним елементом;

мінімальні елементи означаються нерекурсивно;

немінімальні елементи означаються за допомогою менших від них елементів.

Неважко переконатися, що означення з прикладів 9.1–9.2 задовольняють ці умови, а з прикладів 9.3–9.5 – ні.

Для тих, кому не знайомі терміни "частково упорядкована множина" та "мінімальний елемент", дамо невелике пояснення.

Будь-яка множина пар, складених з елементів деякої множини, називається відношенням на цій множині. Наприклад, множина пар {(1,1), (1,2), (2,1)} на множині {1, 2}.

Відношення називається відношенням часткового порядку, якщо воно має такі властивості:

для кожного елемента a множини пара (a, a) є у відношенні;

якщо у відношенні є пара (a, b) з різними елементами a і b, то пари (b, a) там немає. При цьому ми кажемо, що a менше b. У множині можуть бути й непорівнювані елементи, що один з одним пару не утворюють;

якщо a менше b, а b менше c, то a менше c. Втім, елементів a, b, c таких, що a менше b, а b менше c, у множині може й не бути – при виконанні властивостей (1) і (2) відношення буде відношенням часткового порядку.

Множина з заданим на ньому відношенням часткового порядку називається частково упорядкованою. Елемент частково упорядкованої множини називається мінімальним, якщо в множині немає елементів, менших його.

Очевидно, що в прикладі 9.1 кожні два елементи множини {1, 2, 6, …} порівнювані між собою, а мінімальним є 1. У прикладі 9.2 ідентифікатор менше іншого, якщо той утворюється з нього дописуванням символів наприкінці. Так, a менше a1 і aaa, а a1 і aa непорівнюванні. Ідентифікатор a – мінімальний. У прикладі 9.3 один вираз менше іншого, якщо він є його частиною. Так, 1 і 2 менше, ніж (1)+(2), а (1)+(2) менше, ніж ((1)+(2))+(1); мінімальними елементами є всі можливі сталі, і між собою вони непорівнювані.

2. Рекурсивні підпрограми

За правилами мови Паскаль щодо області дії означень, тіло підпрограми може мiстити виклики підпрограм, чиї заголовки записані вище в тексті програми. Звідси випливає, що підпрограма може містити виклики самої себе – рекурсивні виклики. Виконання такого виклику нічим не відрізняється від виконання виклику будь-якої іншої підпрограми. Підпрограма з рекурсивними викликами називається рекурсивною.

Приклад 6. Напишемо рекурсивну функцію f за таким означенням функції "факторіал": n!=n\xF0D7 (n-1)! за n>1, 1!=1 (вважається, що n>0).

function f ( n : integer ) : integer;

begin

if n = 1 then f := 1

else f := n * f ( n-1 )

end; \xF0E7

При імітації виконання викликів рекурсивних підпрограм їх локальні змінні позначають у такий спосіб. Якщо підпрограма F викликана з програми, то її локальна змінна X позначається F.X. За виконання кожного рекурсивного виклику підпрограми F, указаного в її тiлi, з'являється нова змiнна X. Вона позначається дописуванням префікса "F." до позначення змінної X у попередньому виклику: F.F.X, F.F.F.X тощо.

Приклад 7. Імітацію виконання виклику f(2) функції з прикладу 9.6 можна податі таблицею:

що виконується стан пам'яті

Виклик f(2) f.n f.f

  2 ?

обчислення n=1: false 2 ?

початок f := n*f(1) 2 ?

виклик f(1) 2 ? f.f.n f.f.f

  2 ? 1 ?

обчислення n=1: true 2 ? 1 ?