Відношення еквівалентності, Детальна інформація

Реферат на тему:

Відношення еквівалентності

Відношення R на множині M називається відношенням еквівалентності (або просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Враховуючи важливість відношення еквівалентності, дамо розгорнуте означення цього поняття. Таким чином, відношення R на множині M є відношенням еквівалентності або евівалентністю, якщо

1. aRa для всіх a(M (рефлексивність);

2. Якщо aRb, то bRa для a,b(M (симетричність);

3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c(M (транзитивність).

Приклад 1.15. 1. Відношення рівності iM на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності. Рівність - це мінімальне відношення еквівалентності, бо при видаленні бодай одного елемента з iM відношення перестає бути рефлексивним, а отже, і відношенням еквівалентності.

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

3. Важливу роль відіграє в математиці відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або "конгруентні за модулем k", яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k(N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a ( b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ( 22(mod 5), 1221 ( 6 (mod 5), 42 ( 57 (mod 5).

4. Еквівалентністю є відношення подібності на множині всіх трикутників.

Bi=A і Bi(Bj = ( для i(j. Множини Bi, i(I є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a(A належить одній і тільки одній множині Bi, i(I.

Припустимо, що на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a(M і утворимо підмножину SaR = { x | x(M і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M еквівалентних елементу a. Відтак, візьмемо другий елемент b(M такий, що b(SaR і утворимо множину SbR = { x | x(M і bRx } з елементів еквівалентних b і т.д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {SaR,SbR,...}. Побудована сукупність множин { SiR | i(I} називається фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.

-



"

`

f

p

v

\x20AC

‚

„

†

\x02C6

\x0160

A

E

I

O