Відношення порядку, Детальна інформація

Можна довести, що всі три наведені теореми еквівалентні між собою (тобто зі справедливості будь-якої з них випливає справедливість двох інших), і що всі вони в свою чергу еквівалентні одній з фундаментальних аксіом сучасної аксіоматичної теорії множин, так званій аксіомі вибору.

Аксіома вибору. Якщо дано множину M, то існує функція w:( ((M)\{(}) ( M, яка кожній непорожній підмножині A(M ставить у відповідність певний елемент a = w(A) цієї підмножини, a(A.

Iнакше кажучи, функція w обирає по одному елементу з непорожніх підмножин множини M.

Зокрема, аксіомою вибору ми неявно користувались при доведенні теореми 1.2.

Будь-яке твердження T відносно елементів деякої цілком впорядкованої множини M можна доводити, використовуючи так звану трансфінітну індукцію, яка є узагальненням відомого методу математичної індукції.

База індукції. Доводимо справедливість твердження T для найменшого елемента множини M.

Iндукційний крок. Робимо припущення, що твердження T виконується для будь-якого елемента a такого, що a
Якщо виконуються умови бази і індукційного кроку, то твердження T справедливе для довільного елемента a(M.

Припустімо, що це не так. Нехай в множині M існують елементи, для яких не виконується твердження T і K(M - сукупність усіх таких елементів. Множина M цілком впорядкована, отже K має найменший елемент b(K. Зі справедливості умови бази індукції випливає, що b не є найменшим елементом у множині M. Це означає, що в множині M існують елементи a