Опукла оболонка, Детальна інформація

Реферат на тему:

Опукла оболонка

Означення. Афінна геометрія складається з множини скалярів S (дійсних чисел), множини точок P та множини вільних векторів V (або просто векторів). Точки використовуються для задання положення, а вектори – для задання напрямку та величин, хоча вони і не мають фіксованого положення у просторі.

Операції афінної геометрії:

1. добуток скаляра на вектор: S * V \xF0AE\xF020V;

2. додавання векторів: V + V \xF0AE\xF020V;

3. віднімання точок: P - P \xF0AE\xF020V;

4. додавання точки та вектора: P + V \xF0AE\xF020P;

додавання векторів віднімання точок додавання точок та вектора

Різницею двох точок p та q буде вектор, який направлево з q до p.

Кількість операцій можна розширити. Наприклад, різницю векторів можна визначити як u - v = u + (-1) * v, а ділення вектора на скаляр як v / a = (1 / a) * v. Але не можна додавати дві точки або множити точку на скаляр.

Означення. Нехай в Ed задано k різних точок p1, p2, ...,pk. Множина точок p таких що

p = a1p1 + a2p2 + ... + akpk (ai \xF0CE\xF020R, a1 + a2 + ...+ ak = 1)

називається афінною множиною, породженою точками p1, p2, ..., pk, а p називається афінною комбінацією точок p1, p2, ..., pk.

Афінна комбінація є частковим випадком лінійної комбінації (вводиться додаткова умова a1 + a2 + ...+ ak = 1). При k = 2 афінна множина – це пряма, що проходить через дві точки p1 та p2.

Приклад. Нехай дано дві точки p1, p2 та число а. Позначимо через Aff(p0, p1, a) комбінацію (1 - a) * p1 + a * p2 = p1 + a * (p2 - p1). Ліва частина рівності містить недопустиму операцію (додавання точок), але еквівалентний їй алгебраїчний вираз правої частини є допустимим. Якщо p1 \xF0B9\xF020p2, то Aff(p0, p1, a) лежить на прямій p1p2. Коли а пробігає всі дійсні значення, то вираз Aff(p0, p1, a) пробігає всі точки прямої p1p2. При a \xF0CE\xF020[0; 1] значення Aff(p0, p1, a) пробігає всі точки відрізку [p; q].

Для представлення векторів та точок в афінному просторі використовуються гомогенні координати. При роботі з d вимірним афінним простором координати будемо представляти (d + 1) - кортежами дійсних чисел. Перший елемент кортежа дорівнює 1 для точки і 0 для вектора. Інші d елементів кортежа відповідають безпосередньо координатам.

P(1; 1; 3), Q(1; 4; 1), u(0; 1; 2).

P - Q = (1-1; 1-4; 3-1) = (0; -3; 2).

Означення. Три точки p, q, r на площині мають додатню орієнтацію, якщо вони утворюють трикутник, орієнтований проти годинникової стрілки та від’ємну орієнтацію, якщо обхід трикутника pqr відбувається за годинниковою стрілкою. Три точки p, q, r мають нульову орієнтацію, якщо вони лежать на одній прямій.

додатня нульова від’ємна

Орієнтація визначається знаком детермінанта, визначеного координатами трьох точок в гомогенних координатах:



Означення. Нехай в просторі Ed задана підмножина L. Афінною оболонкою aff(L) множини L називається найменша афінна множина, яка містить L.

Афінною оболонкою відрізка є пряма, афінною оболонкою плоского многокутника є площина.

Означення. Нехай в Ed задано k різних точок p1, p2, ...,pk. Множина точок p таких що

p = a1p1 + a2p2 + ... + akpk (ai \xF0CE\xF020R, ai \xF0B3\xF0200, a1 + a2 + ...+ ak = 1)

називається опуклою множиною, породженою точками p1, p2, ..., pk, а p називається опуклою комбінацією точок p1, p2, ..., pk.

Опукла комбінація є звуженням афінної комбінації. При k = 2 опуклою множиною є відрізок, який сполучає задані точки.

Означення. Нехай в просторі Ed задана підмножина L. Опуклою оболонкою conv(L) множини L називається найменша опукла множина, яка містить L.