Геометричний пошук, Детальна інформація

Теорема. Довільний планарний граф можна перетворити в регулярний.

Доведення. Нехай v – нерегулярна вершина графа G. Припустимо, що з неї не виходить жодного ребра. Горизонтальна пряма, що проходить через v, протикає в загальному випадку пару ребер e1 та e2 графа G, найближчих до v зліва та справа. Оскільки v не є крайньою вершиною, то один з цих проколів повинен існувати. Нехай vi – верхня вершина ребер ei (i = 1, 2), а v* – та з вершин vi, що має найменшу ординату (наприклад, v2). Тоді відрізок vv* не перетинає ребер G (в загальному випадку це не вірно і тоді алгоритм регуляризації слід змінити) і може бути доданим до ребер планарного графу, регуляризуючи вершину v.

Використуючи алгоритм плоского замітання, замітаємо граф згори вниз регуляризуючі вершини, які не мають вихідних ребер, а потім знизу вгору для регуляризації вершин іншого типу.

регуляризований планарний граф

Теорема. N вершинний планарний граф можна регуляризувати за час O(N * log N) з витратами пам’яті O(N).

Теорема. Локалізацію точки в N вершинному планарному підрозбитті можна реалізувати за час O(log2 N) з використанням O(N) пам’яті при затраті часу O(N * log N) на передобробку.

Метод деталізації триангуляції Кіркпатріка

Нехай задана N вершинна триангуляція G. Побудуємо послідовність триангуляцій S1, S2, ..., Sh(N), де S1 = G, а Si отримується з Si-1 за наступними правилами:

Крок 1. Видалимо деяку множину незалежних (несуміжних) неграничних вершин Si-1 та інцидентні їм ребра.

Крок 2. Будуємо триангуляцію утворених многокутників.

Таким чином Sh(N) не має внутрішніх вершин і складається з єдиного трикутника. Всі триангуляції мають одну спільну границю. Припустимо, що трикутник Rj належить триангуляції Si (позначатимемо Rj \xF0CE\xF020*Si), якщо Rj створено на другому кроці при побудові Si.

Нехай T – структура даних для пошуку, вузлам якої відповідають трикутники. Структура Т, топологію якої представляє направлений ациклічний граф, визначається наступним чином: від трикутника Rk до трикутника Rj проводиться дуга, якщо при побудові Si після Si-1 маємо:

1. Rj видаляється з Si-1 на кроці 1;

2. Rk утворюється з Si на кроці 2;

3. Rj \xF0C7\xF020Rk \xF0B9\xF020\xF0C6.

Трикутники з Si не мають вихідних дуг.

Початковий крок полягає в локалізації точки z відносно Sh(N). Потім рухаємося вниз по шляху в Т до одного з трикутників з S1. Відбувається послідовна локалізація точки z у триангуляціях Sh(N), Sh(N) - 1, ..., S1. Факт, що Si-1 є результатом деталізації Si, пояснює назву метода.

Структура даних T – направлений ациклічний граф пошуку

Позначимо через ТРИКУТНИК(v) трикутник, який відноситься до вузла v. Усі потомки вузла v зберемо у список Г(v).

деталізація трикутника

begin

if (z \xF0CF\xF020ТРИКУТНИК(корінь)) then друк “z лежить у нескінченній області“;

else

begin

v \xF0AC\xF020корінь;

while (Г(v) \xF0B9\xF020\xF0C6) do

for кожний u \xF0CE Г(v) do

if (z \xF0CE ТРИКУТНИК(u)) then v \xF0AC u;

друк v;

end;