Наближення сплайнами третього степеня, Детальна інформація

у вигляді

(6)

де введені такі позначення для різницевих похідних на нерівномірній сітці



Із (6) випливають наближені формули

, (7)

. (8)

Із (7) і (8) випливає, що без розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна наближено обчислити параметри сплайна. Якщо використовується (7), то одержуємо так званий локальний дискретний кубічний сплайн, а якщо (8) - більш точний.

треба знати зовні відрізка [a,b] значення f-2, f-1, fn+1, fn+2, які визначаються кубічною інтерполяцією з використанням умов

(9)

відомі, як правило, з деякою похибкою.

Іноді зручно використовувати таку форму запису кубічного сплайна

(10)



При побудові кубічного інтерполяційного сплайна дефекту 1 попутно знаходяться значення похідних першого та другого порядків



визначаються формулами (4), (4`).

з крайовими умовами

(11)

мінімізує функціонал

. (12)

і мінімізує функціонал (12).

. Якщо в кінцевих точках відрізка відома перша похідна, то додаткові співвідношення можна одержати, використовуючи (4`), (4``).

, маємо

(13)

і покладається

(14)

одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею. Матриця системи симетрична з діагональним переважанням і, отже, з визначником відмінним від нуля.

візьмемо у вигляді