Загальні питання наближення функцій, Детальна інформація

Реферат на тему:

Загальні питання наближення функцій



Теорія наближень є фундаментом багатьох чисельних методів. Ефективність чисельного алгоритму може у великій мірі залежати від способу наближення шуканого розв’язку. Теорія наближень оформилась у змістовну теорію в ХХ сторріччі, хоча перші результати її були одержані П.Л.Чебишовим в 1853 і 1857 роках, а знамениту теорему Вейєрштрасса доведено в 1885 році.

Основні проблеми обчислювальної математики пов’язані з реалізацією математичних моделей в умовах обмеженої вхідної інформації, коли все, що ми маємо або можемо обчислити - це деякі точки, в яких відомі значення функцїі, причому здебільшого наближено внаслідок похибок різного походження.

Класичний підхід в теорїі наближень полягає у використанні наявної інформації для одержання наближуючої функції, оперувати з якою досить легко. Більша частина класичного чисельного аналізу будується на наближенні поліномами, хоча не для всіх задач це є вигідним.

Визначивши клас наближуючих функцій, треба вибрати з нього одну певну функцію за допомогою деякого критерію. Одним з найпоширеніших є критерій співпадання наближуваної та наближуючої функцій в певних точках. Більш загальний критерій - вимога мінімізації відстані між цими функціями як елементами відповідних функціональних просторів.

Нехай u - заданий елемент нормованого лінійного простору U, а V підпростір в U , що складається з елементів вигляду

i vi , (1)

i - числа.

В залежності від того, належить u простору V, чи ні, виникає дві задачі:

i vi .



До 1-го випадку належать різноманітні розвинення функцій в ряди (степеневий, тригонометричний, експоненційний, тощо). Hелінійною задачою такого типу є задача визначення сталих у формулі Крістоффеля-Шварца при конформному відображенні кругової області на многокутник.

До 1-го і 2-го випадків відносяться інтерполяція та апроксимація в різних функціональних просторах.

) відомі значення функції uj. Треба відшукати функцію v вигляду (1), яка в даних точках xj найменшим чином відхиляється від значень uj , тобто величини



i.

i vi інтерполює функцію u .

була системою Чебишова.

i vi (x), у якого хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, має на [a,b] не більше n нулів.

2. n
i vi (x).

.

Міра відстані визначається простором, в якому розглядається наближення.

.

називається елементом найкращого наближення для u в просторі V або проєкцією u на V.

Теорема. Для будь-якого елементу u лінійного нормованого простору U, в V існує елемент найкращого наближення. Якщо простір U, строго нормований, то цей елемент єдиний

Ми будемо розглядати найкращі наближення в гільбертовому просторі ( середньоквадратичне ), де

dx)1/2