Опукла оболонка, Детальна інформація

Означення. Поліедральною множиною в називається перетин скінченної множини замкнених півпросторів (півпростір – це частина Ed, розташована по одну сторону від деякої гіперплощини).

Поліедральна множина є опуклою, оскільки півпростір є опуклим та перетин опуклих множин є опуклою множиною. Плоскі многокутники та тривимірні многогранники є прикладами скінченних поліедральних множин. Скінченну d - мірну поліедральну множину будемо називати опуклим d - політопом (або просто політопом).

Теорема. Опукла оболонка скінченної множини точок в є опуклим політопом. Кожний опуклий політоп є опуклою оболонкою деякої скінченної множини точок.

Опуклий політоп задається описом його границі, яка складається з граней. Кожна грань опуклого політопа є опуклою множиною (політопом низької розмірності). Якщо політом має вимірність d, то його d - 1 грані називаються гіпергранями, d - 2 грані – підгранями, 1 - грані – ребрами, 0 - грані – вершинами. Для 3 політопа гіпергранями є плоскі многокутники, а підграні та ребра співпадають. В цій термінології порожня множина трактується як (-1) грань.

Означення. d політоп називається d симплексом, якщо він є опуклою оболонкою (d + 1) афінно незалежних точок. Кожна підмножина з цих d вершин є симплексом і є гранню. Кожна k грань містить 2k+1 граней розмірностей k, k-1, k-2, ..., 0, -1.

При d = 0, 1, 2, 3 відповідний симплекс є точкою, ребром, трикутником та трикутною пірамідою.

Наприклад, трикутна піраміда (3 грань) містить одну 3 грань (сама піраміда), чотири 2 грані (трикутники), шість 1 граней (ребра), чотири 0 граней (вершини) та одну (-1) грань (порожня множина), що разом складає 16 = 24 граней.

Означення. d політоп називається симпліциальним, якщо його кожна гіпергрань є симплексом.

Задача 1. Опукла оболонка. В Ed задано множину S, що містить N точок. Необхідно побудувати їх опуклу оболонку (повний опис границі CH(S)).

Задача 2. Крайні точки. В Ed задано множину S, що містить N точок. Необхідно визначити ті з них, які є вершинами опуклої оболонки conv(S).

Задача 3. Перевірка крайності точок площини. На площині задано N точок. Визначити, чи є вони вершинами своєї власної опуклої оболонки.

Теорема. Задача сортування зводиться за лінійний час до задачі побудови опуклої оболонки. Для знаходження впорядкованих N точок опуклої оболонки потрібен час O(N log N).

Доведення. Нехай дано N додатних дійсних чисел x1, x2, ..., xN. Поставимо у відповідність точці xi точку (xi, xi+1) і присвоємо їй номер i. Утворені точки лежать на параболі y = x2. Опукла оболонка цієї множини точок буде складатися зі списку точок множини, впорядкованому за значенням абсциси.

S таких, що лежить на відкритому відрізку ab.

Множина E крайніх точок S представляє собою найменшу підмножину S, яка має властивість: conv(E) = conv(S), при чому Е в точності співпадає з множиною вершин conv(S).

Для знаходження опуклої оболонки скінченної множини необхідно виконати наступне:

1. Визначити крайні точки;

2. Впорядкувати ці точки так, щоб вони утворювали опуклий многокутник.

Теорема. Точка p не є крайньою плоскої опуклої множини S тоді і тільки тоді, коли вона лежить в деякому трикутнику, вершинами якого є точки з S, але сама вона не є вершиною цього трикутника.

Існує O(N3) трикутників, які визначаються N точками множини S. Отже за час O(N3) можна визначити, чи є задана точка крайньою. Повторення цієї процедури для всіх N точок множини S вимагає часу O(N4).

Точка P не є крайньою, оскільки вона лежить всередині трикутника P1P2P3.

Теорема. Промінь, який виходить із внутрішньої точки обмеженої замкненої фігури F, перетинає границю F рівно в одній точці.

Теорема. Послідовні вершини опуклого многокутника розташовані в порядку, якому відповідає зміна кута відносно довільної внутрішньої точки.

Теорема. В якості внутрішньої точки q можна взяти центроїд довільних трьох неколінеарних точок.

Для цього беруться дві довільні точки та шукається така третя точка з інших N - 2 точок, яка не лежить на прямій, що визначається першими двома.

Задача. На площині дано дві точки p1 та p2. Яка з цих точок має більший полярний кут?

p2 утворює з віссю Ох строго менший полярний кут, ніж p1 тоді і тільки тоді, коли трикутник (O, p2, p1) має строго додатню площу (або точка P1 лежить зліва від прямої OP2).

= Ѕ * (30 - 6) = 12.

Метод обхода Грехема

Знайдемо внутрішню точку O множини точок S та перетворимо координати інших точок так, щоб знайдена внутрішня точка стала початком координат. Впорядкуємо лексикографічно N точок у відповідності зі значеннями полярного кута та відстані від початку координат (при цьому переводити координати точок до полярної системи координат не треба).