Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні, Детальна інформація

 звідки    

                                (10.7)

10.4.2. Площа циліндричної поверхні

. Нехай ця поверхня задана рівняннями

 



              Рис.10.9                                     Рис.10.10

   

Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу



                         (10.8)

 ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести. 

 робить один оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.

Р о з в ‘ я з о к. Досить розглянути лише половину еліпса:



В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)





- ексцентриситет еліпса.

матимемо



У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл







В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.