Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей, Детальна інформація

Невизначені коефіцієнти А1,А2,...Аm знаходяться з тотожності (5).

2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто:



(6)

Коефіцієнти A1, B1, B2,… Bk знаходяться з тотожності. (6)

3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто

)k • (х2 + px + q)

розкладається на суму найпростіших дробів І -го II - го та III - го типу

(7)

Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності. (7)



Розв'язування. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу.

(8)

Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба привести до спільного знаменника, одержимо:



Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В (9)

Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню X в обох частинах рівності однакові, тобто



Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд:



Інтегруючи цю рівність, одержимо





Інтегрування виразів, що містять ірраціональність.

При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.

, де

, де

q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x .