Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, Детальна інформація

Теорема (про неперервну залежність від початкових умов). Нехай виконані умови теореми про існування та єдиність розв’язків рівняння



, що записані у формі Коші, неперервно залежать від початкових умов.

як від параметрів.

рівняння



- раз неперервно диференційований.

в рівняння, одержимо тотожність

,

яку можна диференціювати

.

, то праворуч функція неперервно диференційована. Продиференціюємо її ще раз

,

або



-разів, отримаємо твердження теореми.

.

алгебраїчне рівняння

.

.

задовольняє умовам:

- неперервна по всіх аргументах;

існує і відмінна від нуля;

.

.

, то одержуємо

.

Звідси



виконані умови теореми існування й єдиності розв’язку задачі Коші.