Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, Детальна інформація

.

що суперечить припущенню про стислість оператора.

Таким чином, припущення про неєдиність нерухомої точки помилкове. З використанням теореми про нерухому точку доведемо теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної.

визначена в прямокутнику

і задовольняє умовам:

;

, тобто



, і задовольняє умові



. Замінимо диференціальне рівняння



еквівалентним інтегральним рівнянням



.

оператором стиску.



, чи задача Коші для диференціального рівняння



також має єдиний розв’язок.

. Дійсно,



.

Використовуючи доведену теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші розглянемо ряд теорем, що описують якісну поведінку розв’язків.

Теорема. (про неперервну залежність розв’язків від параметру) Якщо права частина диференціального рівняння



.

Доведення. Оскільки члени послідовності



.