Системи диференціальних рівнянь, Детальна інформація

Реферат на тему:

Системи диференціальних рівнянь

Загальна теорія

Співвідношення вигляду



-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд



то вона називається системою в нормальній формі.

тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

.

можна розв’язати довільну задачу Коші.

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості) можна розглядати два визначення інтеграла.

стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.

повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається інтегралом системи.

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям є функціональна незалежність.



Теорема. Для того щоб інтеграли

системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний від тотожного нуля, тобто



називається першим інтегралом.

- функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь.

Власне кажучи загальний інтеграл - це загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

досить, щоб:

;

у тому ж околі.

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто