Розкладність графів. Комбінаторні розміри підмножин графів і груп, Детальна інформація

непорожня для довільної скінченної підмножини K групи G, що містить одиницю e. Позначимо через Fine сім'ю всіх скінченних підмножин з одиницею. Для кожної підмножини K(Fine виберемо елемент x(K)(G, такий що K x(K)( F Ai. Оскільки e(K, то x(K)=f(K) a(K) для деяких елементів f(K)(F, a(K)(Ai. Виберемо конфінальну в Fine підмножину Fin' таку, що f(K)=f для всіх K(Fin'. Тоді для кожного g(G знайдеться a(g)(Ai, такий що gfa(g)(FAi. Значить,

G( F Ai Ai-1f=F Ai Ai-1 .

Використовуючи техніку ультрафільтрів, можна довести [29], що G=FAiAi-1=FAi-1Ai для деяких підмножини Ai розбиття і скінченної підмножини F. Цікаво було б довести це твердження елементарними методами.

( підгрупа групи G.

Задача 2. Нехай аменабільну групу G розбито на n підмножин G=A1(A2(…(An. Довести, що знайдуться підмножина Ai розбиття і скінченна підмножина K, такі що

G=KAiAi-1 , |K|( n.

Проблема 1. Довільну групу G розбито на n підмножин G=A1(A2(…(An. Чи вірно, що G=KAiAi-1 для деякої підмножини Ai розбиття і деякої скінченної підмножини K, |K|( n?

За теоремою кожну нескінченну групу G можна розбити на зліченне число підмножин, кожна з яких велика в кульових структурах Bl(G), Br(G).

Можна довести [7], що кожну нескінченну групу можна розбити на зліченне число підмножин, кожна з яких мала в кульових структурах Bl(G), Br(G).

За теоремою 8.5. кожну зліченну групу G можна розбити на зліченне число підмножин G=(n(( An так, що кожна підмножина G\An не являється великою в кульовій структурі Bl(G). Це твердження узагальнюється так [28].

Нехай G ( нескінченна група потужності (, (=cf(. Тоді існує розбиття G=((<( X( групи X, таке що G(F(G\X() для кожного (<( і кожної підмножини F потужності <(. Зокрема, кожну групу G регулярної потужності ( можна розбити на дві підмножини G=A1(A2 так, що G(FA1, G(FA2 для кожної підмножини F потужності <(. Невідомо [4], чи вірне це твердження для груп сингулярної потужності.

Задача 3. Довести що кожну нескінченну групу G потужності ( можна розбити на ( підмножин G=((<( G( так, що кожна підмножина G\G( не є великою в кульовій структурі Bl(G).

Задача 4. Довести що підмножина S групи G мала в кульових структурах Bl(G) і Br(G) тоді і тільки тоді, коли підмножина G\FSF велика в кульових структурах Bl(G) і Br(G).

Задача 9.5. Довести що кожна нескінченна група G породжується деякою підмножиною S, малою в кульових структурах Bl(G) і Br(G).

Для напівгрупи S з одиницею e визначимо дві кульові структури Bl(S)=(S, Fine, Bl) і Br(S)=(S, Fine, Br), де Fine ( сім'я усіх скінченних підмножин, що містять одиницю, Bl(x,F)=Fx, Br(x,F)=xF.

Нехай X ( нескінченна підмножина потужності (, S(X) - напівгрупа всіх відображень X(X. О. Равський довів, що для будь-якого розбиття S(X)=((<( S( існує (<(, таке що S(X)=S( s для деякого елемента s(S(X). Отже, принаймні одна із підмножин розбиття є великою в кульовій структурі Br(S(x)). В [32] побудована зліченна напівгрупа, така що для довільного її скінченного розбиття принаймні одна із підмножин розбиття велика справа. Таким чином, зліченна напівгрупа S не є розкладною відносно сім'ї великих справа підмножин із S. Цей же приклад показує, що теорема 4.11 теж не поширюється на всі напівгрупи.