Розкладність графів. Кульові структури, Детальна інформація

(і) ( (іi). Зафіксуємо p-зв’язний метричний простір (X,d), такий що B ізоморфна B(X,d). Виберемо m(( так, що простір (X,d) m-зв’язний. Розглянемо граф Gr(X,E) з множиною ребер E, визначеною за таким правилом (x,y)(E тоді і тільки тоді, коли x(y і d(x,y)( m. Оскільки кульова структура B(X,d) p-зв’язна, то граф Gr зв’язний.

Нехай d' – метрика на графі Gr . За припущенням, для кожного n(( існує ((n)(( , таке що з умови d(x,y)( n випливає d'(x,y)( ((n). З іншого боку, з умови d'(x,y)( k випливає d(x,y)( km. Значить, тотожне відображення множини X являється ізоморфізмом між кульовими структурами B(X,d) і B(Gr).

Задача 3. Навести приклад метричного простору (X,d), для якого кульова структура B(X,d) не є графовою.

Приклад 3. Для довільної групи G позначимо через Fine(G) сім'ю усіх скінченних підмножин групи G, що містять одиницю e групи. Для всіх x(G, F(Fine(G) покладемо

Bl(x,F)=Fx, Br(x,F)=xF.

Кульові структури (G, Fine, Bl) і (G, Fine, Br) позначимо Bl (G) і Br(G). Очевидно, що відображення x( x-1 є ізоморфізмом між Bl (G) і Br(G) . Надалі будь-яку з цих двох ізоморфних кульових структур позначаємо B(G). Зауважимо, що B(G) зв’язна, симетрична і мультиплікативна.

Теорема 3. Кульова структура B(G) групи G метризована тоді і тільки тоді, коли |G|((0.

Доведення випливає з теореми 7.1.

Теорема 4. Для довільної групи G наступні два твердження рівносильні:

(і) група G скінченно породжена;

(іі) кульова структура B(G) графова.

Доведення. (і) ( (іi). Позначимо через S скінченну систему твірних групи G. Розглянемо граф Келі Gr(G,E) групи G, визначений системою твірних S ( S-1. За означенням (x,y)(E тоді і тільки тоді, коли x(y і x=ty для деякого t(S ( S-1. Очевидно, що тотожне відображення G ( G є гомоморфізмом між B(G) і B(Gr) .

(іі) ( (і). За теоремою 2 існує F(Fine(G), таке що B(G) є F-зв’язною. Зокрема, для кожного елемента g(G існує F-шлях від e до g. Це означає, що скінченна підмножина F породжує групу G.

Проблема 1. Охарактеризувати кульові структури, ізоморфні кульовим структурам груп.

З кожним орієнтовним графом Gr(V,E) природньо пов'язані дві

(Gr)) - це множина усіх вершин y(V, для яких існує орієнтовний шлях від x до y (відповідно від y до x ) довжини ( m.

Проблема 2. Охарактеризувати кульові структури, ізоморфні кульовим структурам орієнтовних графів.