Розкладність графів. Квазіцикли і квазіпромені, Детальна інформація

Відповідь на це запитання дає остання теорема цього параграфу.

Теорема 11. Кожну нескінченну групу G можна розбити на зліченне число великих підмножин.

Доведення. Якщо кожна скінченна підмножина групи G породжує скінченну підгрупу, то в групі G існує зростаючий ланцюг H0(H1 (…(Hn (… скінченних підгруп. В цьому випадку застосовуємо теорему 10. В іншому випадку деяка скінченна підмножина S(G породжує нескінченну підгрупу. Застосовуємо теорему 8.

Задача 2. Довести, що будь-яка сім'я великих зліва підмножин аменабельної (зокрема, абелевої) групи, що попарно не перетинаються, є скінченною або зліченною. Нагадаємо, що група G називається аменабельною, якщо існує міра (, визначена на всіх підмножинах групи G, така що

(і) ((G)=1;

(іі) ((A1( A2( …( An)= ((A1)+((A2)+ …+((An) для довільних підмножин A1, A2, …, An, що попарно не перетинаються;

(ііі) ((gA)=((A) для довільних g(G, A(G.

Задача 3. Нехай X - довільна нескінченна множина, F(X)- вільна група в алфавіті X. Вказати розбиття групи G на |X| великих зліва підмножин. Вказати розбиття групи G на |X| великих підмножин.

Нехай G - довільна група, X - непорожня підмножина із G. Лівим (правим) індексом підмножини X назвемо найменший кардинал k, для якого знайдеться підмножина F(G, |F|=k, така що G=FX (G=XF). Максимальний серед лівого та правого індексів називається індексом підмножини X.

Задача 4. Нехай G - нескінченна група, |G|=k. Довести, що існує розбиття групи G на k підмножин, лівий індекс кожної з яких
Проблема 1. Нехай G - нескінченна група, |G|=k. Чи можна розбити G на k підмножин, індекс кожної з яких