Історія розвитку комбінаторики та деякі її застосування, Детальна інформація

По мірі заглиблення знань знадобилось виразити і інші елементи, що входять до складу світу за допомогою тих самих знаків ------ та --- ---. Були складені 64 фігури, що складалися з п’яти рядів рисочок. Треба вважати, що автор рукопису „Же-ким” помітив подвоєння числа малюнків при додаванні одного ряду символів. Це можна розглядати як перший загальний результат комбінаторики.

У рукописі „Же-ким” є і більш складні малюнки. Як стверджує подане в ній додаток, імператор Ію, котрий жив приблизно 4000 років тому назад, побачив на березі річки священну черепаху, на панцирі якої був зображений малюнок з білих і чорних кружків (рис. 2). Якщо замінити кожну фігуру відповідним числом, з’являється така таблиця:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

(Рис. 2)

При додаванні чисел в кожному рядку, стовпчику та по діагоналі отримаємо одне і те саме число 15. При тому містичному поясненні, яке надавали числам давні китайці, відкриті таблиці з такими магічними властивостями справило невиправні враження. Рис. 2 назвали „ло-шу”, і почали вважати його магічним символом і використовувати при закляттях. Тому зараз будь-яку квадратну таблицю чисел з однаковими сумами по кожному рядку, стовпчику та по діагоналі називають магічним квадратом.

Комбінаторика в Древній Греції

Говорити з повною впевненістю про рівень знань древніх греків в області комбінаторики дуже важко, оскільки до нас дійшли далеко не все з їх наукових досягнень. В 391 р. н.е. натовп монахів зруйнував центр язичної науки – олександрійський Музеум - і спалив більшу частину зберігаємої там бібліотеки, що налічувала багато тисяч томів. Рештки бібліотеки зруйнувались на протязі ще трьох століть, а в 638 р. н.е. вона остаточно була зруйнована під час захоплення Олександрії військами арабського халіфа Омара. Більшість наукових книг назавжди загинули, і ми можемо лише здогадуватися про їх зміст по коротким переказам натякам в рукописах, що збереглися.

По цим натякам можна все ж таки судити, що певні уявлення про комбінаторику у грецьких вчених були. Філософ Ксенократ, що жив в ІV ст.. до. н.е. підраховував кількість складів. В ІІІ ст.. до н.е. стоїк Хрисипп вважав, що кількість тверджень, отримуваних з 10 аксіом, перевищує мільйон. На думку Геппарха, із стверджуючих аксіом можна скласти 103 049 сполучень, а додавши до них заперечні, 310 952. ми не знаємо який саме зміст надавали ці філософи своїм ствердженням і як вони отримували свої результати – числа, що наводив Геппарх дуже точні, щоб вважати їх результатом грубої оцінки, і в той же час їх не можна пояснити. Напевно, у грецьких вчених були якісь, невідомі нам, правила комбінаторних розрахунків, які скоріше всього були невірними.

Конкретні комбінаторні задачі, що торкалися перерахунку невеликих груп предметів, греки розв’язували без помилок. Аристотель описав без пропусків всі види правильних тричленних силогізмів, а його учень Аристоксен з Тарента перерахував різноманітні комбінації довгих і коротких складів у віршових розмірах. Математик Папп (ІV ст. н.е.) роздивлявся число пар і трійок, які можна отримати з трьох елементів, не забороняючи їх повторення.

Велику увагу грецькі вчені приділяли питанням, граничним між комбінаторикою та теорією чисел. Ще в VІ ст. до н.е. в школі філософа-ідеаліста і математика Піфагора виникло твердження, що світом правлять числа, а речі лише відображення чисел (можливо, ці ідеї виникли у Піфагора під впливом вавилонської культури). Тому, щоб пізнати світ, пафігорейці почали вивчати властивості натуральних чисел. Їхні досліди про парні і непарні числа, ділення чисел, простих і складених числах поклали основу теорії чисел (в науці буває, що невірні похідні основи дають поштовх до корисних досліджень). Як і китайці, піфагорейці надавали особливе значення числу 36 – воно було для них не тільки сумою перших 4 парних і перших 4 непарних чисел, але й сумою перших трьох кубів: 36 = 13 + 23 + 33. Символом бездоганності для піфагорейці вважали бездоганні числа, що дорівнювали сумі своїх дільників, наприклад, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, а символом дружби – дружні числа, кожне з яких дорівнює сумі дільників іншого числа (наприклад, 220 і 284). Пошук таких чисел потребував комбінаторної майстерності.

. . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

(Рис. 3)

В школі Піфагора була доведена знаменита теорема про сторони прямокутного трикутника. Це викликало інтерес до представлення чисел у вигляді суми двох квадратів, до квадратних чисел 1, 4, 9, 16 і т.д. Квадрати натуральних чисел відображались при цьому геометрично (рис. 3). Але піфагорейці розглядали і інші конфігурації крапок, такі, як зображені на рис. 4 і 5. Кожний трикутник на рис. 4 отримується з попереднього збільшенням довжини його сторони на 1. Підраховуючи кількість крапок у кожному трикутнику, отримуємо послідовність трикутних чисел 1, 3, 6, 10... Ці числа можна отримати, послідовно додаваючи натуральні числа: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 і т.д. Так само шестикутники на рис. 5 призводять до послідовності шестикутних чисел 1, 6, 15 ... отриманій при послідовному додаванні арифметичної прогресії 1 + 5 + 9 + ...

Рис. 4

В подальшому такі суми вдалося виразити за допомогою біноміальних коефіцієнтів Сkn, що відіграють важливу роль в комбінаториці.

Перехід від площини до простору дав можливість будувати ще більш складні числа. Наприклад з трикутників можна скласти піраміди. Підраховуючи кількість крапок в таких пірамідах, прийшли до пірамідальних чисел 1, 4, 10, 20, ..., що були сумами ряду 1 + 3 + 6 + 10 + ..., складеного з натуральних чисел. Проте подальше узагальнення потребували введення багатомірних просторів, що лежало за рамками можливостей давньогрецької математики.

Вчення про фігурні числа приваблювало до себе математиків на протязі багатьох століть. Ними багато займався французький вчений П’єр Ферма, що жив у XVІІ ст.. Він довів, наприклад, що будь-яке натуральне число є чи трикутне чи сума 2 чи 3 трикутних чисел, квадратне чи сума 2, 3, 4 чи 5 п’ятикутних і т.д. Як і багато інших отриманих ним результатів, він лише сформулював це твердження в листі до Блеза Паска ля (юрист по основній професії, Ферма займався математикою лише у години дозвілля). Часткові випадки цієї теореми довели Ейлер та Лагранж, а взагалі доведення було дано в 1815 р. французьким математиком О. Коші.

Одночасно з комбінаторикою чисел грецькі вчені займались і окремими питаннями геометричної комбінаторики – правильними і напівправильними многогранниками, складанням фігур з 14 частин особливим методом розрізаного квадрата і т.д. Останньому питанню була присвячена робота Архімеда „Стомахіон”.

Рис.5

Містики, астрологи, кабалісти

З ІІ ст. до н.е. починається спочатку поступовий, а потім все більш швидкий занепад науки в елліністичних країнах, що відображав загальну кризу рабовласницької общини. Багато тогочасних робіт були присвячені містичним тлумаченням чисел в дусі піфагорейців (наприклад, „Арифметична теологія” неопіфагорейця Никомаха, що жив у І – ІІ ст. до н.е.). великий розвиток отримали різноманітні числові вірування та тлумачення, пов’язані із заміною букв, що відповідали числам (греки позначали числа за допомогою букв – перші 9 букв алфавіту позначали числа від 1 до 9, наступні за ними – від 10 до 90, а останні 9 букв – від 100 до 900). Були „вчені”, яких називали кабалістами, які піддавали такому „аналізу” слова Біблії та інших священних книг і робили на основі своїх винаходів пророцтва про майбутнє світу.

У часи богословських спорів, що почалися після перемоги християнства, намагалися отримати з імен єретиків число 666 – адже по Апокаліпсису це було „тваринне число”, символ анти християнства. Такі спроби робились і пізніше – лютерани намагались вивести число 666 з імені римського папи, а католики – з імені Мартіна Лютера. У романі „Війна і мир” Л. М. Толстой описує, як П’єр Безухов намагався вивести це число з імені Наполеона Бонапарта. Такого роду досліди при всій своїй без результативності давали поштовх до майбутнього розвитку комбінаторики.

Наряду з кабалістами і містиками комбінаторикою в ці темні століття занепаду науки займались астрологи. Їх цікавило питання про рух планет і їх „вплив” на долі людей. Особливе значення надавали вони порядку планет – зустрічі планет одному знаку Зодіаку. Астролог Бен Езра у 1140 році розрахував кількість суміщень семи планет по дві, по три і т. д. Він знав, що число суміщень планет по дві дорівнює числу їх суміщень по п’ять, а число суміщень по три дорівнює дорівнює числу суміщень по чотири. Якщо позначити ці твердження сучасними символами, то отримаємо рівності С27 = С57 і С37= С47 (через Сkn визначають число суміщень з n різних предметів по k).

В остаточному вигляді формулу для числа суміщень отримав математик Леві бен Гершон (початок XIV ст.), довівши, що

Ckn= n (n - 1)… (n – k + 1) (1)