Лінійний векторний простір, Детальна інформація

РЕФЕРАТ

на тему:

“Лінійний векторний простір”

називаються HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%EE%EE%F0%E4%E8%ED%E0%F2%E0%EC%E8%20%E2%E5%EA%F2%EE%F0%E0" координатами вектора .

.

(скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірний HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=eWKLIDOWO_PROSTRANSTWO" евклідовий простір.

). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.

У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:

будь-якій парі елементів х и у з L зіставлений єдиний елемент z, називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L;

і приналежний L;

операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.

.

називають полем скалярів L. Поняття векторного простору можна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.

підмножини S з L називається системою утворюючих S, якщо будь-який вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S, якщо розкладання будь-якого елемента S по цій системі єдино.

Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається системою координат у S. Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n елементів, то векторний простір називається n-мірним (конечномірні); якщо базис - нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.

. Для кінцевого сімейства підпросторів S1, ..., Ss сукупність усіх векторів, які представлені у виді

. Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%ED%F3%EB%E5%E2%EE%E3%EE%20%E2%E5%EA%F2%EE%F0%E0" нульового вектора. HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%D0%E0%E7%EC%E5%F0%ED%EE%F1%F2%FC" Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.

.

Основні фізичні приклади - простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2%EE%E2%EE%E9%20%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E5" квантовій механіці, HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2%EE%E2%EE%E9%20%F1%F2%E0%F2%E8%F1%F2%E8%F7%E5%F1%EA%EE%E9%20%F4%E8%E7%E8%EA%E5" квантовій статистичній фізиці і HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2%EE%E2%EE%E9%20%F2%E5%EE%F0%E8%E8%20%EF%EE%EB%FF" квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2%EE%E2%EE%E9%20%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E8" квантовой механики , а гільбертовий простір над полем октоніонов - в одній з формулювань HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%EA%E2%E0%ED%F2%EE%E2%EE%E9%20%F5%F0%EE%EC%EE%E4%E8%ED%E0%EC%E8%EA%E8" квантової хромодинаміки. У сучасних HYPERLINK "http://phys.web.ru/db/search.html?not_mid=1179060&words=%F2%E5%EE%F0%E8%FF%F5%20%F1%F3%EF%E5%F0%F1%E8%EC%EC%E5%F2%F0%E8%E8" теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.

Використана література:

Векторний простір. – М., 1992.

Вища математика в прикладах. – К., 1998.

Математична енциклопедія. – М., 1983.