Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена., Детальна інформація

;



тобто формулу (43) доведено.

3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).

R.Маємо:

а) f’(x) =m(1+x)m-1, fn(x) =m(m-1) (1+x)m-2,…,

N;

N;

в) 1+ mx





, опускаємо.

дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить від числа m.

Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:

;

;

.

Приймемо ці твердження без доведення.

і сума його дорівнює (1-х)-1.

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти – х замість х, потім – х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).

Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.

Приклади

1.Розкласти в ряд функцію f(x) = x2 ln (1-x3).

Поклавши у форму (47) – х3 замість х, маємо