Диференціальні рівняння І порядку, Детальна інформація

ПЛАН

Основи означення.

Диференціальні рівняння І порядку.

Задача Коші.

Теорема існування та єдності розв'язку.

Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.

І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N).

Символічно диференціальне рівняння записується так:



Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0;

Sin у'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, що входять в дане рівняння.

Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

у'''+7у'-3у-0 диференціальне рівняння ІІІ порядку.

Отже розв'язком диференціального рівняння (1) називається інтегральною кривою цього рівняння. Виявляється, що рівняння (1) має безліч розв'язків. Сім'я розв'язків яка залежить від n довільних параметрів називається загальний розв'язком рівняння 1. Процес знаходження розв'язків рівняння (1) називається інтегруванням цього рівняння. Розв'язок рівняння (1) може бути у явному у=у(х) або в неявному – G (х1у(х)), яка визначає розв'язок у (х) рівняння (1) називається інтегралом цього рівняння.

(2)

де у-у(х) – шукана невідома функція, у'у'(х) – її похідна по х,

(3)

Означення. Рівняння у'-f(х; у) називається рівнянням першого порядку що розв'язується відносно похідної.

Означення. Функція \x03C6 (х) є (а; и) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо вона має похідну \x03C6' (х) на (а; в) і якщо для будь-якого х є )а; в) правильна рівність: \x03C6' (х) = f (х; \x03C6 (х) ) (тобто функція \x03C6 (х) , х є (а; в) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо рівняння (3) при підстановці її замість у перетвориться в тотожність по х на інтервалі (а; в)).

Аналогічно визначається розв'язок диференціального рівняння (2) функція \x03C6 (х) розв'язок рівняння, а крива, що задана рівнянням у - \x03C6 (х) , називається інтегральною кривою.

де х0, у0 – задані числа, називається задачею Коші. Умова (4) називаються початковою умовою.

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву рівняння (3), яка проходить через задану точку М0 (х0; у0).

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А0 (х0; у0) області D.

визначені і неперервні. Нехай А0 (х0; у0) – довільна точка з області D1. Тоді існує єдиний розв'язок.

у = \x03C6 (х)

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х0 і задовольняє початкову умову \x03C6 (х0) = у0.

Приклад 2. Розглянемо рівняння

(5)

неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох (область D1). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків: