Поняття функції, Детальна інформація

Знайти області визначення функції:









д) у = nl.









д) формула у = n! ставить у відповідність кожному натуральному числу п число у = n!. Наприклад, якщо n = 3, то у = 3! = 1 • 2 • 3 = 6, якщо n = 5, то у = 5! = 1 ( 2 ( 3 ( 4 ( 5 = 120. Отже, X = Z0 (вважають, що 0! = 1).

Ці приклади показують, що областю існування функції можуть бути досить різноманітні множини: відрізок, кілька або навіть нескінченна кількість відрізків, дискретна множина точок тощо.

\x00D0

\x4873Й\x2000тичне заданої функції набагато складніша і пов'язана з задачею про екстремуми функції (гл. 6, п. 6.3).

При графічному способі задання функції у = f (х) відповідність між змінними х і у задається графіком — множиною точок (х; у) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність у = f(x). Залежно від того, яку задано функцію, графік її може складатись з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини точок площини тощо.

Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов'язаних з використанням таких самописних приладів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму або напруги), електрокардіограф (для запису електричних явищ, пов'язаних з діяльністю серця), термограф (для запису змін температури повітря) тощо. Криві (їх називають відповідно барограма, осцилограма, електрокардіограма, термограма), що їх виписують прилади, задають цілком певну функцію, властивості якої характеризують перебіг того чи іншого процесу.

Графіки функцій можна спостерігати на дисплеях комп'ютерів. У математиці графіками широко користуються для геометричного зображення функцій, навіть тоді, коли ці функції задані аналітичне. Якщо функція у = f (х) задана на деякій множині X формулою, то завжди можна вважати, що їй відповідає певний графік, який визначає цю функцію геометричне. А якщо функція задана довільним графіком, то чи можна її задати деякою формулою? Це дуже складне запитання. Щоб відповісти на нього, потрібно з'ясувати, який зміст має поняття формули. Якщо функція у = f (х) задана формулою, то ми поки що вважаємо, що функція у утворюється за допомогою скінченного числа таких операцій над х, як додавання, віднімання, множення, ділення, добування кореня, логарифмування, взяття sin, агсsіn тощо. Математичний аналіз дає змогу значно розширити поняття формули. Зокрема, формулою вважається також і нескінченний ряд, членами якого є ті чи інші функції, тобто допускається нескінченне число операцій над цими функціями. За допомогою таких формул більшість кривих, що зустрічаються на практиці, можна задати аналітичне (гл. 9)..

Приклади

N є нескінченна множина ізольованих точок, які лежать на прямій у = 2х — 3.

2. Графіком функції у = |х| є сукупність бісектрис першого і другого координатних кутів.

3. Графіком функції

що задана різними аналітичними виразами на різних частинах області зміни х, є сукупність параболи і прямої. Стрілка на графіку означає, що точка М (2, 2) не належить прямій.

4. Функція

(читається «сигнум ікс») визначена на всій числовій осі і набуває трьох значень:

), Y = {—1, 0, 1).

0 і набуває двох значень:

); Y = {—1, 1).

[а; b] провести перпендикуляр до осі Ох. Довжина цього перпендикуляра від осі Ох до точки М0 (х0; у0) перетину з кривою, взята з належним знаком, і є значенням функції в точці х0, тобто у0 = f(х0). Крива 11 не задає функцію.

Табличний спосіб задання функції у = f(x) полягає в тому, що відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.

Табличний спосіб досить часто використовується при проведенні експериментів, коли задають певну сукупність х1, х2, ...,хn значень аргументу і дослідним шляхом знаходять відповідні значення функції: y1, у2, ..., уп.