Загальні властивості неперервних функцій, Детальна інформація

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що

f(М3) = С

Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

).

Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С.

Для цієї функції





) = 0, тобто



Звідси



що й треба було довести.

неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m \x2264 f(X) \x2264 M.

D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:

якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].

m \x2264 f(x) \x2264 M.

такі, що



і одна точка х2, в якій f(х2) = М.

неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.

Теорему наводимо без доведення.