Границя функції, Детальна інформація

| уп | < М.

Властивість 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

3. Нескінченно великі числові послідовності

Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.

Означення. Послідовність (уп) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > М. Це записують так:



уп при цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовності ((—1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((—1)пп) є нескінченно велика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |уп|=(—1)пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зростають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1 = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, ... .

.

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послідовність (уп), де



є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.

є нескінченно малою.

— довільне додатне число.

(n > N). Теорему доведено.

є нескінченно велика.

.

. Тоді



Теорема доведена.

4. Основні теореми про границі

можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.

Теорема 1. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xn+yn) має границю а + b.



Теорема 2. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають відповідно границі а, b. Тоді послідовність (хп • уп) має границю, яка дорівнює а • b, тобто