Дискретний логарифм, Детальна інформація

Індексний алгоритм

Алгоритм, базований на обчисленні індексів, є найпотужним при обчисленні дискретного логарифму. Необхідно побудувати відносно невелику підмножину S елементів групи G, яка називається множниковою основою. Ця підмножина повинна обиратися таким чином, щоб як можна більша частина елементів G могла бути представлена у вигляді добутку її елементів. При обчисленні значення logab (a – генератор G, b \xF0CE\xF020G) спочатку обчислюються значення логарифмів елементів з S (які заносяться в тимчасову базу даних), а потім на їх основі обчислюється логарифм числа b.

Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G порядка n та елемент b \xF0CE\xF020G.

Вихід: дискретний логарифм x = logab.

1. Побудувати множину S – множникову основу. Нехай S = {p1, p2, …, pt}. В якості значень pi можна обрати, наприклад, i - те просте число.

2. Побудувати систему лінійних рівнянь, розв’язком якої будуть значення logapi. Для цього виконаємо наступні кроки:

2.1. Обрати деяке ціле k, 0 \xF0A3\xF020k \xF0A3\xF020n - 1 та обчислити ak .

2.2. Спробувати представити значення ak у вигляді добутку чисел з S:

, ci \xF0B3\xF0200

Якщо така рівність знайдена, то записати рівняння:

(mod n)

2.3. Повторювати кроки 2.1. та 2.2. поки не отримаємо t + c лінійних рівнянь. Невелике ціле число c (1 \xF0A3 c \xF0A3 10) обирається таким чином, щоб складена система рівнянь мала єдиний розв’язок з великою ймовірністю (якщо скласти лише t рівнянь з t невідомими, то з великою ймовірністю два з цих рівнянь будуть залежними і тоді система буде мати більше одного розв’язку).

3. Розв’язати утворену систему рівнянь, отримати значення logapi, 1\xF0A3 i \xF0A3 t.

4. Обчислення logab.

4.1. Обрати деяке ціле k, 0 \xF0A3\xF020k \xF0A3\xF020n - 1 та обчислити b * ak .

4.2. Спробувати представити значення b * ak у вигляді добутку чисел з S:

, di \xF0B3\xF0200

Якщо такого представлення знайти не вдається, виконати знову 4.1. Інакше прологарифмірувавши останню рівність, отримаємо:

- k) mod n

Приклад. Обчислити log212 в групі Z19*.

1. Нехай S = {2, 3, 5} – множникова основа.

2. Будуємо систему рівнянь для знаходження значень log2pi, де pi \xF0CE\xF020S. Оскільки множина S містить 3 елементи, то достатньо отримати 3 лінійно незалежні рівняння.

k = 5: 25 (mod 19) \xF0BA 13 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 7: 27 (mod 19) \xF0BA 14 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 2: 22 (mod 19) \xF0BA 4 = 22. Перше рівняння: 2 = 2log22.

k = 10: 210 (mod 19) \xF0BA 17 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 15: 215 (mod 19) \xF0BA 12 = 22 * 3. Друге рівняння: 15 = 2log22 + log23.

k = 11: 211 (mod 19) \xF0BA 15 = 3 * 5. Третє рівняння: 11 = log23 + log25.

3. Система рівнянь за модулем 18 (порядок Z19* дорівнює 18) має вигляд: