Комплексні числа. Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число, Детальна інформація

Реферат на тему:

Комплексні числа

Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число.

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Але чисел, які при піднесенні до квадрата дають від’ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені в від’ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв’язків. Зокрема, так було під час розв’язання квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, наприклад:

.

Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, приєднанням до неї нових так, щоб у розширеній множині, крім чотирьох арифметичних дій – додавання, віднімання, множення і ділення (за винятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв’язане лише у ХІХ ст.

на уявну одиницю).

- уявною.

називають коефіцієнтом при уявній частині.

, тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють.

, які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються спряженими.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел

.

Мал. 1

.

.

Мал. 2

відповідає певна точка – кінець радіуса-вектора.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел

називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми використовуються й інші форми запису комплексних чисел – тригонометрична і показникова. Розглянемо тригонометричну форму запису, а для цього введемо поняття про модуль і аргумент комплексного числа.

Мал. 3

.

.

Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.

.

.

їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо:

/

.