Модальні групи (структурні властивості), Детальна інформація

будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу ((U4) мають наступну будову:

G = Q ( C ( B, де B – локально циклічна періодична група, (C, B) = (Q, B) = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами;

G = A ( S, де А – абелева періодична модальна група, а S – узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1.

3. Будова деяких груп із класу ((U5).

Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x6, y6] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y ( G ( ((U5) має місце рівність х(у6(х –1 = у6l, де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли

G – локально циклічна група;

G ( {C, D}, де С – нециклічна група 9-го порядку, D ( {B2 ( B2, B4 ( B2, B8 ( B2, B4 ( B4, E(2, 8)} і Bl – циклічна група l-го порядку;

G = C ( D ( T, де Т – локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1.

Якщо в періодичній модальній групі G = елемент c = [a, b] ( 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D8, або групу Т3, де Т3 має вигляд:

.

Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою.

Теорема 2. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;

G = A ( B, де А – абелева, модальна і періодична, а В ( {Q, Q*, D8, T3}, причому (А, В) = 1.

Тут Q* = Q ( {1, u}, де u2 = 1; Е(2, 8) – елементарна абелева група 8-го порядку.

Література

Мельник И.И. Строение модальных групп. // Деп. ВИНИТИ.–1981.–№ 3270–С.1–17.

Мельник И.И. Некомутативные модальные групы. // Деп. УкрНИИНТИ.–1983.–№ 9679 К–С.1–17.

Черников С.Н. Групы с заданными свойствами системы подгруп. М:Наука.–1980.–384с.

Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные свойства групп и полугрупп. // УМН.–1972.–Вып.6, 168, ХХІІ.–С.134–180.

Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М:Изд.ин.лит.–1960.–158с.

Jonsson B. Equational classes of lattices. Math. Scand.–1968.–22.–P.187–196.

Ore O. Structures and group theory.1. Duke Math. J.–1937.–3.–P.149–173.

Jwasawa K. Uber die end lichen Gruppen und die Verbande ihrer Untergruppen. J. Univ. Tokyo.–1941.–P.141–199.