Початки комбінаторики, Детальна інформація

Ця тотожність називається правилом додавання. Існує багато різних її доведень. Ось "лобове":



. Це дозволить не записувати межі, у яких змінюється k.

Доведемо ще одну тотожність, яка називається згорткою Вандермонда:

.

Якщо замінити k на k-m, а n – на n-m, то одержимо рівність

.

Вона має назву тотожності Коші. Доведемо спочатку цю рівність. Нехай є r дівчат і s юнаків. Праворуч маємо кількість способів вибрати з них усіх n осіб. Кожний доданок у сумі ліворуч задає кількість способів вибрати n осіб так, щоб серед них було k дівчат з r і n-k юнаків з s. Додавання цих кількостей по всіх можливих значеннях k дає кількість всіх способів вибрати з них усіх n осіб. Отже, вирази ліворуч і праворуч задають одну й ту саму кількість, тобто рівні. Якщо тепер замінити назад k на k+m, а n на n+m, одержимо початкову рівність.

Таблиця біноміальних коефіцієнтів зображається ще у вигляді так званого арифметичного трикутника, або трикутника Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

…

як (r)k/k!.