Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання теореми існування, Детальна інформація

.

. Площа цієї фігури

і ця рівність безпосередньо випливає з означення модуля функції.

 ; в) за яких умов вона буде існувати і буде скінченою. Відповіді на ці запитання можна знайти у фундаментальних курсах математичного аналізу. Тут лише повідомляється (без будь-яких доведень) відповідь на ці проблеми у вигляді теореми.  

 , якщо вона неперервна на цьому інтервалі.

 і меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, котру можна позначати довільною буквою.

 на основі інтегральної суми.

. Ординати в точках поділу обчислюватимемо на правому кінці кожного інтервалу. Вони складуть таку послідовність:



Інтегральна сума матиме вигляд







Пропонується здійснити обчислення, взявши ординати на лівому кінці кожного інтервалу.

Як видно із наведеного прикладу, безпосереднє обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум пов’язане з певними труднощами. Навіть в простих випадках, коли підінтегральна функція є дуже простою, цей спосіб вимагає громіздких підрахунків. Знаходження інтегралів від більш складніших функцій приводить до ще більших труднощів. Інтегральні суми використовували ще в древні часи при розв’язуванні певних задач, але до тих пір, поки не був відкритий метод обчислення визначеного інтеграла, його застосування було обмежене. Цей метод, відкритий Ньютоном і Лебніцем, використовує глибокий зв’язок між інтегруванням і диференціюванням.



Розв’язання. На підставі таблиці основних інтегралів і правила ІІІ, /див. Лекцію 2/ маємо