Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду, Детальна інформація

Пошукова робота на тему:

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду.

План

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду





1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

            Розглянемо диференціальне рівняння

                            (12.46)

- функція  спеціального виду

         (12.47)

- дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.

:

.

            Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду

                (12.48)

 з коренями характеристичного рівняння (12.39).

 слід шукати у вигляді

                         (12.49)

:



            Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння





1-го  степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих

 у цьому разі шукатимемо у формі

                                     (12.50)

у вигляді

                              (12.51)

            Приклад 1.   Розв’язати рівняння