Основні поняття математичного програмування. Побудова моделі задачі лінійного програмування, Детальна інформація

Структура цільової функції z відбиває внесок кожного виду виробничої діяльності в загальний результат, У випадку максимізації величинаCj являє собою прибуток від j-го виду виробничої діяльності на одиницю відповідної продукції, а у випадку мінімізації Cj характеризує питомі витрати. Зауважимо, що «корисність» деякого виду виробничої діяльности не можна встановити тільки за значенням відповідного коефіцієнта цільової функції, оскільки обсяг споживання обмежених ресурсів також є важливим чинником. Оскільки усі види виробничої діяльності, подані в моделі, претендують на використання обмежених ресурсів, відносна корисність деякого виду виробництва (у порівнянні з іншими видами виробничої діяльності) залежить як від величини коефіцієнта цільової функції сj, так і від інтенсивності споживання ресурсів aij. Тому можлива ситуація, коли через занадто великі витрати обмежених ресурсів деякий j-й вид виробничої діяльності, що характеризується високим прибутком, використовувати недоцільно (тобто  в оптимальному розв’язку відповідна змінна виявиться небазисною).

 

5. Побудова моделі задачі лінійного програмування.

Приклад 1.1.  Для виробництва фарб двох видів підприємство використовує два види сировини: А та Б. Норми витрат та максимальні добові витрати сировини кожного виду, а також питомий прибуток від продажу 1т фарби кожного виду наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1



 

Вивчення ринку збуту виявило, що добовий попит на фарбу другого виду ніколи не перевищує попиту на фарбу першого виду більше, ніж на 1 т, а попит на фарбу другого виду не буває більшим 2 т на добу. Яку кількість фарби кожного виду має виробляти підприємство, щоб сумарний прибуток від реалізації був максимальним?

Для прикладу, що розглядається, математична модель матиме наступну структуру:

Змінні: x1, x2 – добовий обсяг виробництва фарби, відповідно першого та другого видів, у тоннах.

Цільова  функція: Позначивши загальний прибуток через Z, можна подати цільову функцію у вигляді такої формули:

Z= З x 1+2 x 2 \xF0AE max

Обмеження: В даній задачі передбачено два види обмежень: на запас сировини та на обсяг можливого збуту. Крім того, неявне обмеження полягає в тому, що обсяги виробництва продукції не можуть приймати від’ємні значення. Таким чином, щоб виключити недопустимі розв’язки, будемо вимагати виконання умов невід’ємності змінних.

В цілому, математичну модель можна записати наступним чином. Визначити добові обсяги виробництва (x1 та x2 ) фарби 1 і фарби 2 (у тонах), такі, що забезпечать максимум сумарного прибутку:

Z= 3x1+2x2 \xF0AE max (цільова функція)

при додержанні обмежень:



Дана модель є лінійною, оскільки всі функції, що містяться в ній (обмеження й цільова функція), лінійні. Лінійність  передбачає наявність у функції двох властивостей: пропорційності та адитивності.

1. Пропорційність означає, що внесок кожної змінної до цільової функції та загальний обсяг споживання ресурсів є прямо пропорційними величині цієї змінної. Якщо ж, наприклад, підприємство надасть покупцеві знижку, продаючи фарбу першого виду при обсязі закупівлі вище 2 т по ціні на 0,5 тис. г.о. меншій, то питомий прибуток (коефіцієнт цільової функції при x1) дорівнюватиме 3 тис. г.о. при x1 \xF03C2 т і 2,5 тис. г.о. при x1\xF0B32. Пропорційність між прибутком підприємства та величиною x1 у цьому випадку порушиться.

2. Адитивність полягає в тому, що цільова функція являє собою суму внесків від різних змінних. Аналогічно ліва частина кожного обмеження – це сума витрат, в якій кожна складова є пропорційною величині відповідної змінної. Якщо, наприклад, фірма виготовляє два конкуруючих товари, і збільшення збуту одного з них сприяє зниженню обсягів реалізації другого, то модель не матиме властивості адитивності.

Підсумовуючи все сказане в даному параграфі, зауважимо, що лінійне програмування являє собою теоретичний апарат модельного дослідження, спрямованого на відшукання найкращого способу розподілу обмежених ресурсів за декількома взаємозалежними по меті і використанню ресурсів видами виробничої діяльності. ЛП знайшло широке застосування при розв’язанні багатьох практичних задач організаційно-економічного керування.