Графічний метод розв’язання задачі лінійного програмування. Основи аналізу моделі на чутливість, Детальна інформація

 Рис. 2.5. Визначення граничних значень коефіцієнтів цільової функції.

 Як тільки нахил прямої Z стане рівним нахилу прямої обмеження (1), отримаємо альтернативні оптимальні кутові точки С і D. Аналогічно, якщо нахил прямої Z стане рівним нахилу прямої для обмеження (2), матимемо дві альтернативні оптимальні кутові точки В і С. (Наявність альтернативних оптимумів свідчить про те, що одне й те саме оптимальне значення Z може досягатись при різноманітних значеннях змінних. Як тільки нахил прямої 2 вийде за межі зазначеного вище інтервалу C1,одержимо деякий новий оптимальний розв’язок (точка В або точка D).

Щоб проілюструвати цю процедуру обчислень, розглянемо, яким чином можна знайти допустимий інтервал зміни C1, при якому точка С залишається оптимальною. Вихідне значення коефіцієнта C2=2 залишимо незмінним. З рис. 2.5 видно, що значення C1можна збільшувати доти, поки пряма Z не співпаде з прямою (2), або зменшувати, поки пряма Z не співпаде з прямою (1). Ці граничні значення коефіцієнту C1можна визначити з рівності нахилів прямої Z і прямої (2) (максимальне значення C1)і рівності нахилів прямої Z і прямої (1) (мінімальне значення).

Оскільки тангенс кута нахилу для прямої Z дорівнює C1/2, а для прямих (1) і (2) відповідно 1/2 і 2/1, мінімальне значення C1 визначимо з рівності: C1=1/2, звідки C1 min =1, а максимальне з рівності: C1/2=2/1, звідки C1 max=4.

Інтервал зміни C1, у якому точка С як і раніше залишається єдиною оптимальною точкою, визначається нерівністю 1\xF0A3C1\xF0A34. При C1=1 оптимальними кутовими точками будуть В і С. Як тільки коефіцієнт C1 стає меншим від 1, оптимум зміщається в точку D. Аналогічну інтерпретацію можна дати й у тому випадку, коли коефіцієнт C1 \xF0B34.

Можна зауважити, що як тільки C1 виявляється меншим 1, ресурс 2 стає недефіцитним, а ресурс 4 - дефіцитним.

Такий самий аналіз можна виконати і для коефіцієнта С2, зафіксувавши при цьому С1 на рівні С1=3 тис. г.о./т.

Тепер уявімо, що коефіцієнти цільової функції співпадають з відповідними коефіцієнтами одного із зв’язуючих обмежень або є пропорційними їм. Наприклад, нехай у задачі про фарби сумарний прибуток фірми описується функцією z= 4x1+2x2 . У цьому випадку лінії рівня цільової функції будуть паралельними до прямої обмеження (2). Таким чином, оптимальному розв’язку відповідатиме нескінченна  множина точок, що належать відрізку ВС.

Резюме:

1. Графічний метод розв’язання ЗЛП є ефективним лише при двох змінних і взагалі можливим - при числі змінних не більше трьох.

2. Аналіз моделі на чутливість - обов'язковий етап розв’язання будь-якої оптимізаційної задачі, необхідний для розробки обгрунтованих рішень в умовах , що постійно змінюються.

3. В ході аналізу моделей ЗЛП на чутливість було показано, що оптимальному розв’язку задачі лінійного програмування завжди відповідає хоча б одна з граничних (кутових) точок області її допустимих розв’язків. У розглянутому прикладі такими точками, в залежності від вихідних даних, були B, K, J, C, D. У випадку, коли коефіцієнти цільової функції є пропорційними коефіцієнтам деякого зв’язуючого обмеження, матимемо нескінченну множину альтернативних оптимумів на відрізку.