Інтерполяція функції в прямокутнику

,

,

.

у такому вигляді:

,

задовольняють наступні рекурентні співвідношення:

,

(4)

. Вкладаючи співвідношення (4) одне в друге, отримуємо, що

,

при всіх s=1,2,…,k , то маємо

,

.

. Тоді, користуючись формулою попереднього випадку, з (4) маємо:





. Тепер можемо об’єднати ці два випадки в одній формулі:

.

Ми довели твердження для степенів відносно х. Для степенів відносно у твердження доводиться повністю аналогічно.

Визначимо коефіцієнти дробу (3) виходячи з умови інтерполяційності двовимірного ланцюгового дробу, тобто



Для цього розглянемо квадратні матриці



та



Визначимо частинну обернену поділену різницю k-го порядку для функції двох змінних формулою



де



Твердження 3. Коефіцієнти двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу (3) задовольняють співвідношення