Теореми про диференціальні функції

та справджується рівність

. (3)

. Отже, якщо x ( ( , то z ( 0. Маємо:

.

Розглянемо границю відношення

.

.

На підставі здобутих результатів можемо розглядати границі відношення нескінченно малих величин.

Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.

Приклад







(4)

Доведення. Розглянемо деякий окіл точки а, в якому виконується умова теореми. У цьому околі візьмемо деяку точку й розглядатимемо х із інтервалу \x03B1 < х < а ( аналогічно а < х < \x03B1 ).

теорему Коші:



Отже,



. Звідси випливає, що для будь–якого малого \x03B5 ( 0 виконується нерівність

,

або

. (5)

Знайдемо



Виберемо \x03B1 так, щоб для заданого \x03B5 справджувалась нерівність (5) і при х ( а виконувались співвідношення: f(x) ( ( і \x03C6(x) ( (. Тоді



або

. (6)