Про систему задач для вивчення інтеграла

, для яких правильна нерівність:

;

<4.

10*. Знайдіть найменше і найбільше значення інтеграла:

;

.

II

Глибоке розуміння геометричного змісту інтеграла допомагає як обчислювати площі різних фігу, так і знаходити числові значення інтегралів, обчислювати які за відомими вивчаючими формулами не вдається.

Скориставшись геометричним змістом інтеграла, можна знаходити числові значення інтеграла від деяких функцій, методи інтегрування яких не відомі учням, а площі фігур, обмежених графіками підінтегральних функцій, можна обчислювати і без допомоги інтеграла.

11. Виходячи із геометричного змісту інтеграла обчисліть:

;

;

;

;

;

.

В деяких випадках обчисленню інтеграла допомагають і додаткові міркування, наприклад застосування симетрії.

.

.

Рис.1

(рис. 2б). Тепер площу заштрихованого трикутника (а він конгруентний трикутнику на рис. 2а) можна обчислити за допомогою інтеграла, але вже від функції, оберненої до арксинуса, тобто від функції синус:

. Це і є первісна арксинуса.

Рис.2

Таким самим чином можна знайти первісну ще для деяких функцій, попередньо встановивши, яка функція обернена до даної. Показаний прийом можна застосувати і для обчислення площ (див. [6]).

.

14*. Обчисліть:

;

;

15*. Знайдіть функції, обернені до даних, і які-небудь первісні для обернених функцій:

;