Елементи логіки

Очевидно, що заперечення будь-якої тавтології є суперечністю, і навпаки. На відміну від тавтологій, підстановка висловлень у суперечності породжує хибні висловлення.

Тепер розглянемо поняття логічного висновку. У математиці, як і у звичайному житті, доводиться з'ясовувати, чи випливає деяке твердження з одного або кількох інших, тобто чи є це твердження їх логічним висновком.

Приклад. Припустимо, що купівельна спроможність грошей падає, якщо зростають податки, і що люди незадоволені, коли падає купівельна спроможність грошей. Припустимо також, що податки зростають. Звідси можна дійти висновку, що люди незадоволені.

Для цього позначимо висловлення літерами:

A – "податки зростають",

B – "купівельна спроможність грошей падає",

C – "люди незадоволені".

Припущення прикладу висловимо формулою:

(A(B)((B(C)(A.

Доведемо, за істинності такої умови істинним буде висловлення C. Перетворимо (A(B)((B(C)(A до ДНФ:

(A(B)((B(C)(A ( ((A(B)(((B(C)(A ( A(((A(B)(((B(C) (

( (A((A)((A(B)(((B(C) ( (A(B)(((B(C) (

( (A(B((B)((A(B(C) ( A(B(C.

Отже, маємо, що істинною є формула A(B(C. Але вона істинна лише тоді, коли кожний співмножник істинний. Звідси висловлення C є істинним.

Таким чином, з істинності формул (A(B), (B(C) і A випливає істинність C. У такому випадку C називається логічним висновком цих формул.

Означення. Формула Y називається логічним висновком формул X1, X2, …, Xn, якщо з істинності X1(X2(…(Xn випливає істинність формули Y. Формули X1, X2, …, Xn називаються засновками Y.

Перевірити, чи є одна формула логічним висновком інших, можна за допомогою порівняння таблиць істинності цієї формули та кон'юнкції інших. Але можна діяти зовсім іншим способом на основі двох наступних тверджень.

Теорема 1. Формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X1(X2(…(Xn)(Y є тавтологією.

Доведення. 1 (Необхідність). Припустимо, що формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn. Якщо за деяких значень літер у формулах X1, X2, …, Xn хоча б одна з них хибна, то за означенням імплікації (X1(X2(…(Xn)(Y істинна. Якщо ж за деяких значень літер у формулах X1, X2, …, Xn всі вони істинні, X1(X2(…(Xn також істинна. Але формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn, тому вона також істинна. Тоді істинна і формула (X1(X2(…(Xn)(Y. Отже, за будь-яких значень літер (X1(X2(…(Xn)(Y істинна, тобто є тавтологією.

2 (Достатність). Припустимо, що (X1(X2(…(Xn)(Y є тавтологією. Тоді якщо за якихось значень літер у формулах X1, X2, …, Xn всі вони істинні, то Y також істинна, тобто є їх логічним висновком.

Теорема 2. Формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X1(X2(…(Xn((Y) є суперечністю.

Доведення. За теоремою 1, формула Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли формула (X1(X2(…(Xn)(Y є тавтологією. Звідси Y є логічним висновком формул X1, X2, …, Xn тоді й тільки тоді, коли заперечення (((X1(X2(…(Xn)(Y)є суперечністю. Але

(((X1(X2(…(Xn)(Y) ( ((((X1(X2(…(Xn)(Y) (

( ((((X1(X2(…(Xn))((Y ( X1(X2(…(Xn((Y.

Таким чином, твердження теореми істинне.

Розглянемо приклад застосування наведених теорем. Доведемо, що формула B є логічним висновком формул A(B і A. Перетворимо формулу (A(B)(A((B:

(A(B)(A((B ( ((A(B)(A((B ( ((A(A((B)((B(A((B) ( 0(0 ( 0.

Отже, формула (A(B)(A((B суперечлива, і за теоремою 2 формула B є логічним висновком формул A(B і A.

і назву modus ponens (правило відокремлення). Воно дозволяє одержати висновок B твердження A(B як окреме висловлення, тобто відокремити його вид засновку A. У математичній логіці існують і інші правила виведення, але тут ми їх не розглядаємо.

Підіб'ємо невеличкий неформальний підсумок. Ми познайомилися з двома принципово різними способами одержання нових висловлень. Перший полягає в тому, що ми будуємо складні висловлення з простіших за допомогою логічних зв'язок, а також "перебудовуємо" їх, виконуючи рівносильні перетворення на основі законів. Описані способи побудови та перетворення висловлень складають основу алгебри висловлень.