Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі

Точка

Пряма

Дві паралельні прямі

Коло Пряма

Площина

Циліндрична поверхня

Сфера



Нехай, наприклад, потрібно знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих, що містять сторони трикутника. На площині таких точок чотири (центри вписаного і зовні вписаних кіл).

Таблиця показує, що в просторі шукане геометричне місце точок є чотири прямі, причому ці прямі проходять через названі центри перпендикулярно до площини трикутника.

Зрозуміло, що встановивши форму геометричного місця точок на площині, за допомогою таблиці можна “прикинути”, яку форму має це геометричне місце точок у просторі. Потім обгрунтувати результати і одночасно уточнити розташування шуканого геометричного місця точок відносно даних точок і ліній.

Але не слід думати, що зроблена на основі таблиці прикидка завжди вірна. Таблиця не встановлює взаємно однозначної відповідності між формою геометричного місця на площині і в просторі, бо такої відповідності, взагалі кажучи, не існує. Є такі геометричні місця точок, які не змінюють форму в залежності від того, розглядаємо ми їх на площині чи в просторі. Наприклад, геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних паралельних прямих мінімальна. У будь-якому випадку умові відповідають всі точки смуги площини, обмеженої даними прямими.

Порівнюючи геометричні місця точок, що відповідають певній умові, на площині і в просторі, бачимо, що між ними є схожість, але є й багато суттєвих відмінностей.

Геометричні місця точок у просторі можуть мати одну, дві чи більше властивостей. Якщо геометричне місце точок визначається однією умовою, що виражається рівністю, то воно є деяка поверхня, а коли ця умова виражається нерівністю, то маємо геометричне тіло.

E

I

u

ue

h®

h®

h®

h®

h®

h®

h®

h®

h®

h®

h®

ue