Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація
Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки
Тип документу: Реферат
Сторінок: 7
Предмет: Математика
Автор: Олексій
Розмір: 88.8
Скачувань: 1506
Реферат з математики на тему:
Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
План:
1. Задача Коші
2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
1. Задача Коші.
задовольняє такі умови:
(1)
або
(2)
- довільні наперед задані дійсні числа.
Умови (2) називають початковими умовами рівняння (1). Зокрема, рівняння другого порядку
початкові умови при х=х0 мають вигляд
Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.
існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння (1), який задовольняє початкові умови (2).
(мал..) . Проте через цю точку можуть проходити й інші інтегральні криві, але з іншим нахилом дотичної.
Нарешті, зупинимось на поняттях загального та частинного розв’язку рівняння (1). Як ми вже бачили, загальний розв’язок рівняння першого порядку знаходиться за допомогою операції інтегрування і містить одну довільну сталу. В загальному випадку розв’язок диференціального рівняння п-го порядку знаходиться в результаті п послідовних інтегрувань, тому загальний розв’язок рівняння (1) містить п довільних сталих, тобто має вигляд
(5)
Якщо загальний розв’язок знаходиться в неявній формі:
(6)
то його називають загальним інтегралом рівняння (1).
Частинний розв’язок або частинний інтервал знаходять із загального , якщо у співвідношенні (5) або (6) кожній довільній сталій С1, С2, ..., Сп надати конкретного числового значення. З погляду геометрії загальним розв’язком рівняння (1) є п-параметрична сім’я інтегральних кривих, залежних від п параметрів С1, С2, ..., Сп, а частинний розв’язок - окрема крива з цієї сім’ї.
задовольняє початкові умови (54).
Таким чином, розв’язати (проінтегрувати ) диференціальне рівняння п-го порядку – це означає: 1). Знайти його загальний розв’язок ; 2). Із загального розв’язку виділити частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови, якщо такі умови задані.
2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку
Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
План:
1. Задача Коші
2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
1. Задача Коші.
задовольняє такі умови:
(1)
або
(2)
- довільні наперед задані дійсні числа.
Умови (2) називають початковими умовами рівняння (1). Зокрема, рівняння другого порядку
початкові умови при х=х0 мають вигляд
Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.
існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння (1), який задовольняє початкові умови (2).
(мал..) . Проте через цю точку можуть проходити й інші інтегральні криві, але з іншим нахилом дотичної.
Нарешті, зупинимось на поняттях загального та частинного розв’язку рівняння (1). Як ми вже бачили, загальний розв’язок рівняння першого порядку знаходиться за допомогою операції інтегрування і містить одну довільну сталу. В загальному випадку розв’язок диференціального рівняння п-го порядку знаходиться в результаті п послідовних інтегрувань, тому загальний розв’язок рівняння (1) містить п довільних сталих, тобто має вигляд
(5)
Якщо загальний розв’язок знаходиться в неявній формі:
(6)
то його називають загальним інтегралом рівняння (1).
Частинний розв’язок або частинний інтервал знаходять із загального , якщо у співвідношенні (5) або (6) кожній довільній сталій С1, С2, ..., Сп надати конкретного числового значення. З погляду геометрії загальним розв’язком рівняння (1) є п-параметрична сім’я інтегральних кривих, залежних від п параметрів С1, С2, ..., Сп, а частинний розв’язок - окрема крива з цієї сім’ї.
задовольняє початкові умови (54).
Таким чином, розв’язати (проінтегрувати ) диференціальне рівняння п-го порядку – це означає: 1). Знайти його загальний розв’язок ; 2). Із загального розв’язку виділити частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови, якщо такі умови задані.
2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку