Примітивний елемент, Детальна інформація
Примітивний елемент
Тип документу: Реферат
Сторінок: 6
Предмет: Математика
Автор: Олексій
Розмір: 18.9
Скачувань: 1213
a = b + c (mod p – 1)
Звідси випливає існування гомоморфізму f: Zp* \xF0AE Zp-1.
Приклад. Розглянемо групу Z13*, генератором якої є g = 2. Тоді з рівності
217 = 22 * 23 (mod 13)
випливає рівність
17 = 2 + 3 (mod 12)
– розклад на множники порядка групи Zp* ( |Zp*| = \xF06A(p) = p - 1). Елемент g буде примітивним елементом групи Zp* тоді і тільки тоді, коли
\xF0B9\xF0201 (mod p), 1 \xF0A3 i \xF0A3\xF020k
Доведення. Елемент g буде примітивним елементом тоді і тільки тоді, коли його порядок дорівнює порядку групи: ord(g) = |Zp*| = p – 1. Якщо для деякого i, 1 \xF0A3 i \xF0A3\xF020k, має місце рівність
= 1(mod p),
< p – 1, тобто порядок g не дорівнює порядку Zp* і в такому разі не може бути примітивним елементом.
Твердження. Zp* має точно \xF06A(p - 1) примітивних елементів.
1 mod p. Тоді g буде примітивним елементом тоді і тільки тоді, коли
\xF0B9 1 (mod p)
.
`
b
t
x
|
\x20AC
„
\x02C6
\x017D
”
\x0161
.
0
4
6
Звідси випливає існування гомоморфізму f: Zp* \xF0AE Zp-1.
Приклад. Розглянемо групу Z13*, генератором якої є g = 2. Тоді з рівності
217 = 22 * 23 (mod 13)
випливає рівність
17 = 2 + 3 (mod 12)
– розклад на множники порядка групи Zp* ( |Zp*| = \xF06A(p) = p - 1). Елемент g буде примітивним елементом групи Zp* тоді і тільки тоді, коли
\xF0B9\xF0201 (mod p), 1 \xF0A3 i \xF0A3\xF020k
Доведення. Елемент g буде примітивним елементом тоді і тільки тоді, коли його порядок дорівнює порядку групи: ord(g) = |Zp*| = p – 1. Якщо для деякого i, 1 \xF0A3 i \xF0A3\xF020k, має місце рівність
= 1(mod p),
< p – 1, тобто порядок g не дорівнює порядку Zp* і в такому разі не може бути примітивним елементом.
Твердження. Zp* має точно \xF06A(p - 1) примітивних елементів.
1 mod p. Тоді g буде примітивним елементом тоді і тільки тоді, коли
\xF0B9 1 (mod p)
.
`
b
t
x
|
\x20AC
„
\x02C6
\x017D
”
\x0161
.
0
4
6