Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі, Детальна інформація

де

(4)

за правилом Крамера.

, i=0,1,…,n називається системою Чебишова порядка n, якщо узагальнений многочлен

,

для всіх і=0,1,…,n.

. При виконанні цих умов узагальнений інтерполяційний многочлен буде єдиним.

.

Якщо визначник (4) розвити за і-м стовпчиком, то (3) перепишеться у вигляді



, i,k=0,1,…,n – відповідні алгебраїчні доповнення, і тоді

Якщо згрупувати подібні члени при однакових значеннях, то отримаємо

(5)



З (2) випливає, що

(6)

(2. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа

є визначником Вандермонда. А так як за припущенням xi ( xj, то



- многочлен n-го степеня, який перетворюється в нуль в точках в x0, x1,…, xi-1, xi+1,…, xn і рівний 1 в точці x0, тобто



і

.

Звідки маємо:



Підставивши значення Фі(х) в (5) отримаємо інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа



Отримаємо тепер формулу для залишкового члена інтерполяційного многочлена у виді Лагранжа.

Теорема 2. Нехай f(x) ( C(n) [a,b] і існує f(n+1) (x). Тоді для довільного х ( [(,(] має місце наступна форма залишкового члена

(7)