Модифікований алгоритм Течера-Тьюкі, Детальна інформація

наступними рекурентними відношеннями:



, i = 0, 1, 2, … , n (12)

можливо існує, але вироджена. У всіх інших випадках, що відповідають стану (с) алгоритму, можна впевнено стверджувати, що апроксимація, яка нас цікавить, не існує. Закінчивши побудову сподіваної функції (11), потрібно перевірити, що її знаменник, який знаходиться по формулах (14) , не перетворюється в нуль у вузлах інтерполяції; якщо це не так, то можна показати, що потрібної апроксимації не існує. Відмітимо, що цей алгоритм є надійним в тому розумінні, що якщо апрксимація відповідна початковим даним не існує, то алгоритм відмічає це і дає на виході сигнал про помилку.

Вихідні дані. Визначаємо множину



і значення функції

.

Ітерація. Ітерації по параметру j=1, 2, … починаються із стану (а) і в невиродженому випадку проводяться до кінця. У випадку виродженості відбувається перехід до стану (b) або (c).

і далі вважаємо



(13)



Якщо j=n, вважаємо t=n і переходимо до закінчення; інакше повторюємо ітерацію з j:=j+1.

неможливий, то переходимо в стан (b).

, то параметру t присвоюється значення j-1 у відповідності з поточним значенням j і відбувається перехід до закінчення для перевірки знаменника.

. В стані (с) процедура алгоритму зупиняється і подається сигнал похибки, який означає, що потрібна інтерполяція не може бути здійснена.

- потрібна нам апроксимація. Якщо перехід відбувся при t=1,2,…,n, то вважаємо

(14)



, отриманий результат є некоректним і дається сигнал, що потрібна нам апроксимація не існує.

(6. Результати і висновки.

Мною була складена програма, яка реалізує методи Течера-Тьюкі та Тіле раціональної інтерполяції функції. За результатами роботи програми можна впевнено стверджувати, що метод Течера-Тьюкі є значно надійніший ніж метод обернених різниць Тіле. Так за рахунок чого ж досягається більша надійність, якщо обидва методи базуться на подібному представленні інтерполяційної функції ? Справа в тому, що в алгоритмі Течера-Тьюкі вибір того чи іншого вузла інтерполяції із заданої сукупності проводиться в ітераційному процесі. Саме в такий спосіб вдається обійти деякі особливі випадки, коли інтерполяційна функція існує, але серед проміжкових інтерполяцій є вироджені. Але за вищу надійність доводиться платити і вищою ресурсоємністю обчислень. По кількості ресурсоємних машинних операцій при знаходженні коефіцієнтів метод Течера-Тьюкі перевершує відповідний показник алгоритма Тіле в середньому більш ніж у три рази.

В загальному можна зробити висновок, що, поки-що, ідеального методу раціональної апроксимації функцій не розроблено (і невідомо, чи буде колись розроблено, оскільки саме представлення інтерполюючої функції в виді ланцюгового дробу накладає певні обмеження), хоча певні досягнення все ж таки є, і алгоритм Течера-Тьюкі яскраве підтвердження тому.

Стор. PAGE 13