Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач, Детальна інформація

( a ikxk > bi ; i=1,2,... ,m. (1)

k=1

Якщо i > 0, то нерівність означає, що є потреба в інгредієнті в розмірі i, якщо i < 0,то нерівність означає, що є ресурс даного інгредієнтів розмірі - i =: i:. Далі передбачається, що використання кожного способу, зв'язаного з витратою одного з перерахованих інгредієнтів або особо виділеного інгредієнта в кількості Ck при одиничній інтенсивності способу k. У якості цільовій функції приймається сумарна витрата цього інгредієнта в плані.

s

f(x) = ( ckxk. (2)

k=1

Тепер загальна задача лінійного програмування може бути подана в математичній формі.

Для заданих чисел aik, ck, і bi найти

s

min ( ckxk

k=1

при умовах

k > 0, k = 1,2,... ,s [1]

s

( aikxk > bi, i = 1,2,...,m [2]

k=1

План, що задовольняє умовам [1] і [2], є припустимим, а якщо в ньому , крім того, досягається мінімум цільової функції, то цей план оптимальний. [K33]

Задача лінійного програмування двоїста, тобто, якщо пряма задача має рішення, (вектор x =( x1, x2,... , xk)), те існує і має рішення зворотна задача заснована на транспонуванні матриці прямої задачі. Рішенням зворотної задачі є вектор y = ( y1, y2... ,ym)компоненти якого можна розглядати як об'єктивно обумовлені оцінки ресурсів, тобто оцінки, що показують цінність ресурсу і наскільки повно він використовується.

На основі об'єктивно обумовлених оцінок американським математиком Дж. Данцигом - був розроблений симплекс-метод рішення задач оптимального програмування. Цей метод дуже широко застосовується. Алгоритм його дуже детально пророблений, і навіть складені прикладні пакети програм, що застосовуються в багатьох галузях планування.

Метод лінійної оптимізації з того моменту, як він був розроблений Канторовичем, не залишався без змін, він розвивався і продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) у сучасній інтепретації виглядає в такий спосіб.

( aij xj < bi (i ( I) (3)

j (A1

У чому ж відмінність?

По-перше обмеження записується не більше, або дорівнює , а менше, або дорівнює, що більше відповідає економічному змісту правої сторони обмеження (bi - кількість ресурсів). У Канторовича ж ресурс записується - bi = :bi: - тобто негативним числом, що для економічного складу розуму неприродно ( як може бути ресурсу менше нуля).

По-друге, підсумовування робиться не по всіх способах виробництва, а лише по визначеній їхній підмножині (j ( A1),що також відповідає економічним реаліям, коли по технологічним, або іншим причинам не всі способи виробництва беруть участь у якому конкретному обмеженні.

Аналогічно і з ресурсами, в обмеженні беруть участь не всі ресурси відразу , а яка їхня підмножина (i ( I).

Введенням підмножин не обмежилося удосконалювання методу лінійної оптимізації. Потреби практики змусили розробити ще цілий ряд прийомів і методів для різних випадків опису реалій господарської практики у виді обмежень. Це такі прийоми, як запис обмежень по використанню виробничих ресурсів, запис обмежень по гарантованому об'ємі робіт або виробництва продукції, прийоми моделювання при невідомих значеннях показників і багато хто інші, на котрих тут не варто зупинятися.

Ціль усіх цих прийомів - дати більш розгорнуту модель якогось явища з господарської практика, зекономивши при цьому на кількості переменных і обмежень.

Незважаючи на широту застосування методу лінійного програмування, він враховує лише три особливості економічних задач - велика кількість перемінних, обмеженість ресурсів і необхідність цільової функції. Звичайно, багато задач з іншими особливостями можна звести до лінійної оптимізації, але це не дає нам права випустити з уваги інший добре розроблений метод математичного моделювання - динамічне програмування. По суті, задача динамічного програмування є описом многошаговых процесів прийняття рішень. Задача динамічного програмування можна сформулювати в такий спосіб :

є деяка кількість ресурсу х, що можна використовувати N різними способами. Якщо позначити через хi кількість ресурсу, використовувана i-m способом, то кожному способові зіставляється функція корисності (хi), що виражає прибуток від цього способу. Передбачається, що всі прибутки вимірюються в однакових одиницях і загальному прибутку дорівнює сумі прибутків, отриманих від використання кожного способу.