Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач, Детальна інформація

Тепер можна поставити задачу в математичній формі. Знайти

max y1(x1)+ y2(x2)+ ... + yn(xn) (4)

(загальний прибуток від використання ресурсів усіма способами) при умовах:

- що виділяються кількості ресурсів неотрицательны;

[1] x1 > 0,... , x > 0

- загальна кількість ресурсів дорівнює x .

[2] x1 + x2 + ... + x = x

Для цього загальної задачі можуть бути побудовані рекуррентные співвідношення

(1(x) = max {(1(x1)}, (5)

0 <=X1<= X

(k(x) = max {(k(xk)+ (k-1(x - xk)}. (6)

до = 2,3,... , N,

за допомогою яких знаходиться її рішення.

При виводі цих рекуррентных співвідношень, по суті, використовувався наступний принцип, оптимальна стратегія володіє тим властивістю, що стосовно будь-якого початкового стана після деякого етапу рішення сукупність наступних рішень повинна складати оптимальну стратегію. Цей принцип оптимальності лежить в основі всієї концепції динамічного програмування. Саме завдяки йому вдасться при наступних переходах випробувати не всі можливі варіанти, а лише оптимальні виходи. Рекуррентные співвідношення дозволяють замінити надзвичайні-трудомісткі обчислення максимуму по N перемінним у вихідній задачі рішенням N задач, у кожній із який максимум знаходиться лише по однієї перемінної.

Таким чином, метод динамічного програмування дозволяє врахувати таку важливу особливість економічних задач, як детерминированность більш пізніх рішень від більш ранніх.

Крім цих двох, досить детально розроблених методів, в економічних дослідженнях останнім часом стали застосовуватися множина інших методів.

Одним із підходів до рішення економічних задач є підхід, заснований на застосуванні нової математичної дисципліни - теорії ігор.

Суть цієї теорії полягає в тому, що гравець (учасник економічних взаємовідносин) повинний вибрати оптимальну стратегію в залежності від того, якими він представляє дії супротивників (конкурентів, чинників зовнішнього середовища і т.д.). У залежності від того, наскільки гравець інформований про можливі дії супротивників, гри (а під грою тут розуміється сукупність правил, тоді самий процес гри це партія) бувають відкриті і закриті. При відкритій грі оптимальною стратегією буде вибір максимального мінімуму виграшу (у термінах Моргерштерна - "максимина") із усієї сукупності рішень, поданих у матричній формі. Відповідно супротивник буде прагне програти лише мінімальний максимум ("минимаск") який у випадку ігор із нульовою сумою буде дорівнює "максимину". У економіці ж частіше зустрічаються ігри з ненульовою сумою, коли виграють обидва гравці.

Крім цього в реальному житті число гравців рідко буває дорівнює усього двом. При більшому ж числі гравців з'являються можливості для кооперативної гри, коли гравці до початку гри можуть утворювати коаліції і відповідно впливати на хід гри.

Стратегії гравців не обов'язково повинні містити одне рішення, може бути так, що для досягнення максимального виграшу буде потрібно застосовувати змішану стратегію (коли дві або декілька стратегій застосовуються з якійсь імовірністю). Крім того в закритих іграх теж потрібно враховувати імовірність того або іншого рішення супротивника. Таким чином, у теорії ігор стало необхідним застосування апарата теорії імовірності, що згодом знайшов своє застосування в економічних дослідженнях у виді окремого методу - стохастического моделювання.

Утримання методу стохастического програмування перебуває у введенні в матрицю задачі або в цільову функцію елементів теорії імовірності. У цьому випадку звичайно береться просто середнє значення випадкового розміру, узяте щодо всіх можливих станів .

У випадку не жорсткої, або двухэтапной задачі стохастического моделювання з'являється можливість коригування отриманого плану після того, як стане відомим стан випадкового розміру.

Крім цих методів застосовуються методи нелінійного, целочисленного програмування і багато хто інші. Коротенько, сутність методу нелінійного програмування полягає в перебуванні або седловинной точці, або загального максимуму або мінімуму функції. Основна складність тут у трудності визначення, чи є цей максимум загальним або локальним. Для целочисленного моделювання основна трудність саме і полягає в трудності добору цілого значення функції. Загальним для застосування цих методів на сучасному етапі є можливість часткового зведення їх до задачі лінійного моделювання. Можливо, у недалекому майбутньому буде знайдене яке оригінальне рішення таких задач специфічними методами, більш зручними, чим сучасні методи рішення подібних задач (для який вони є), і більш точні, ніж наближені рішення методами лінійного програмування.

Висновок

Як можна було укласти з вищевикладеного, математичні методи мають великий ступінь універсальності. Основою цієї універсальності є мова математики. Якщо дослідники різних фахів часто говорять про одной і ту ж проблемі цілком по-різному, бачать різні її особливості, і не можуть зв'язати їх воєдино; те переклад проблеми на математичну мову відразу виявляє загальні закономірності, і навіть може дати вже практично готове рішення, отримане раніше десь в іншій галузі знань і для інших цілей. Тобто передумовою використання математики є формалізація кількісних і якісних сторін проблеми.

У той же час на застосування математики в різних науках накладають обмеження об'єктивні закони, властиві тієї або іншій формі руху. Вивчення неживої матерії стало передумовою для створення концепції континуума - безупинного простору-часу. Ця концепція стала базою для множини відкриттів і не утрачає своєї значимості і тепер. Але концепції безперервності супроводжували не тільки успіхи. Одночасно виникнула традиційність " безупинного мислення", трудності подолання якого ми починаємо розуміти тільки тепер, із появою й удосконалюванням ЕОМ. Хоча ще і раніш детальне дослідження неминуче вимагало переходу до дискретного опису, чим демонструвало недостатність і обмеженість континуального мислення.

Тим більше континуальное мислення пробуксовує при спробі описи біологічної форми руху, де майже всі об'єкти різні і дискретні. Що вже тоді говорити про економічні системи, у яких дискретність доходить до максимуму; коли дискретними є не тільки об'єкти, але і їхньої взаємодії і навіть проміжки часу, для котрих треба знайти оптимальний план.

Тобто має сенс говорити про такі особливості економічних систем, що вимагають принципово нових методів дослідження. У той же час не можна і відмежовуватися від старих, перевірених методів опису. У практику використання формалізованого опису величезну роль грає апроксимация реальних і дуже складних режимів і зв'язків відносно більш простими. Тому одержувати інформацію з точністю, необхідної для практики, ми можемо, оперируя з відносно простими просторами про об'єктами. Це зовсім не ставить під сумнів необхідність подальшого удосконалювання мови математики.

Перспективними методами дослідження в економіці, безсумнівно, варто вважати теорію ігор і стохастическое моделювання. Їхня роль зростає з удосконалюванням електронно-обчислювальних машин. Переробка усі великих об'ємів статистичної інформації дозволить виявляти більш глибокі вероятностные закономірності економічних явищ. Розвиток же такого специфічного роду обчислювальних систем, що як самообучаются системи або так називаний "штучний інтелект" можливо, дозволить широко використовувати моделювання економічних взаємовідносин за допомогою ділових комп'ютерних ігор. Граючи, що самообучаются системи будуть набувати досвіду прийняття оптимальних рішень у самих складних ситуаціях, не втрачаючи при цьому переваги обчислювальної техніки перед людиною - великий об'єм пам'яті, прямої доступ до неї, швидкодія.