Пошук, сортування та поняття складності, Детальна інформація

begin

swap ( A[lo], A[hi] );

goto 1

end;

k := lo + 1; j := hi;

v := A[lo]; {?!}

while ( k < j ) do

if A[k] < v then k := k + 1

else

begin

if A[j] < v then swap ( A[k], A[j] );

j := j - 1

end;

{ k = j }

if A[k] >= v then k := k - 1;

{ A[k] є останнім від початку елементом, }

{ значення якого менше v }

swap ( A[lo], A[k] ); { A[k] = v }

quicksort ( A , lo, k - 1 );

quicksort ( A , k + 1, hi );

1: end

Якщо за виконання кожного виклику після циклу while значення змінної k приблизно рівне (lo+hi)/2, то складність швидкого сортування масиву з n елементів можна оцінити як O(nlogn). Середня кількість порівнянь елементів усіх можливих числових послідовностей довжини n також має оцінку O(nlogn); доведення є, наприклад, у книзі [АХУ]. Емпіричні дослідження свідчать, що швидке сортування вимагає в середньому елементарних дій приблизно вдвічі менше, ніж сортування деревом, і вчетверо менше, ніж сортування злиттям. Але якщо початковий масив близький до відсортованого, то його сортування за наведеним алгоритмом вимагає вже O(n2) порівнянь. У такому випадку відокремлюючим елементом не можна вибирати значення A[lo].

Існує багато способів вибору іншого відокремлюючого значення. Наприклад, можна вибрати значення елемента з випадковим номером серед номерів lo, … , hi, або середнє із значень A[lo], A[hi], та A[(lo+hi)div2]. У такому разі перед оператором процедури

v := A[lo]; {?!}

треба задати обмін значень A[lo] та відповідного елемента, чиє значення вибирається відокремлюючим.

5. Відсортуй, і багато чого побачиш

Вам треба огородити сад із деревами, витративши на огорожу якомога менше матеріалу. Вважатимемо, що дерев не менше трьох, і вони задаються координатами на площині. Розв'язання полягає в побудові так званої опуклої оболонки навколо множини точок із заданими координатами. На площині вона являє собою опуклий багатокутник, що містить усі задані точки і не містить інших опуклих багатокутників, які також "накривають" усі точки.

Якщо намалювати план саду, то побудова оболонки стане очевидною. Треба відшукати якусь "крайню" початкову точку і рухатися від неї, малюючи опуклий багатокутник. Як результат, ми одержимо послідовність вершин – заданих точок, на які "натягнуто" багатокутник. Точки, що потрапили на сторону багатокутника, але не є вершинами, можна відкинути.

Наприклад, за множини точок із координатами (1,1), (2,2), (3,3), (5,-1), (2,-1), (3,0) ми одержимо багатокутник із вершинами (1,1), (3,3), (5,-1), (2,-1). Точка (3,0) опинилася всередині його, точка (2,2) – на стороні.

Комп'ютер не бачить плану саду, тому доведеться пояснити йому докладніше, як одержати потрібну оболонку. Один із способів оснований на тім, що спочатку точки сортуються за зростанням, наприклад, координати Y. Тепер це не просто множина, а певним чином упорядкована послідовність. Врахування цього дозволяє створити простий та прозорий алгоритм побудови оболонки.