Позиційні системи числення, Детальна інформація

Якщо позначити цифрами A, B, … , Z числа від 10 до 35, то з використанням відповіді до задачі 10.5 за цим алгоритмом можна утворити подання чисел аж до 36-кової системи.

Для використання ще більших основ систем числення треба додатково розширити алфавіт цифр.

 

1.2. Дробові числа

P-кове подання чисел, менших 1, має вигляд 0.a-1 a-2 \xF0BC , де a-i – P-кові цифри. Цей запис позначає дійсне число – значення виразу

a-1\xF0D7 P-1+a-2\xF0D7 P-2+ \xF0BC

Наприклад, (0.1101)2 позначає десяткове

1\xF0D7 2-1+1\xF0D7 2-2+0\xF0D7 2-3+1\xF0D7 2-4=0.5+0.25+0.0625=0.8125;

(0.21)3 – 2\xF0D7 3-1+1\xF0D7 3-2=0.777…=0.(7); (0.BC)16 – 11\xF0D7 16-1+12\xF0D7 16-2=0.734375.

За P-ковим поданням, у якому задано r старших цифр, десятковий запис числа утворюється обчисленням значення многочлена

a-1\xF0D7 P-1+a-2\xF0D7 P-2+ … +a-r\xF0D7 P-r.

Нагадаємо, що якщо основа P має прості дільники, відмінні від 2 і 5, то число зі скінченним P-ковим записом зображується нескінченним, але періодичним десятковим дробом. Якщо ж простими дільниками P є тільки 2 і 5, то й десятковий дріб скінченний.

Розглянемо, як за дійсним значенням V одержати цифри його P-кового подання. Нехай V=(0.a-1a-2…)P. Запишемо подання в такому вигляді:

V=P-1\xF0D7 (a-1+P-1\xF0D7 (a-2+\xF0BC )).

Тоді V\xF0D7 P=a-1+P-1\xF0D7 (a-2+\xF0BC ), звідки очевидно, що a-1=\xF0EB V\xF0D7 P\xF0FB , і P-1\xF0D7 (a-2+\xF0BC ) = {V\xF0D7 P}, де \xF0EB V\xF0D7 P\xF0FB та {V\xF0D7 P} позначають цілу та дробову частини V\xF0D7 P. Помноживши {V\xF0D7 P} на P і узявши цілу частину, одержимо a-2 тощо. Наприклад, при V=0.75, P=3 одержимо

a-1=\xF0EB 0.75\xF0D7 3\xF0FB =2, {0.75\xF0D7 3}=0.25, a-2=\xF0EB 0.25\xF0D7 3\xF0FB =0, {0.25\xF0D7 3}=0.75 тощо.

Таким чином, трійковим поданням 0.75 буде нескінченний періодичний дріб (0.(20))3.

Маючи дійсне значення V, V<1, можна одержати r перших цифр його P-кового подання, виконавши алгоритм

for i := 1 to r do

begin

V := V*P;

d:= trunc ( V ) ;

за значенням d побудувати P-кову цифру;

V := V - trunc ( V )

end.

1.3. "1+1=10, 5\xF0B4 8=28"

Якщо додати 1 і 1, то одержимо 2. Але в двійковій системі це 10, тобто в двійковій системі 1+1=10. При додаванні в стовпчик це означає суму 0 і перенос 1 у наступний розряд. Наприклад, додамо в стовпчик 3 і 6 у двійковій системі:

+ 11

110

1001