Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі, Детальна інформація

10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або (:

одна пряма буде у випадку, коли три площини \x03B1, \x03B2, \x03B3 мають спільну пряму a. Шуканим геометричним місцем точок є пряма a;

якщо дві площини \x03B1, \x03B2 паралельні, а третя \x03B3 їх перетинає, то шукане геометричне місце точок, рівновіддалених від цих площин, є дві прямі a і b, паралельні до них, які утворюються у перетині бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: \xF061\xF02C\xF020\xF067\xF020; \xF062, \xF067 і належать площині \xF064\xF02C\xF020\xF020\xF020\xF020\xF020\xF020\xF020рівновіддаленій від площин \xF061 і \xF062;

- якщо площини \x03B1, \x03B2, \x03B3 попарно перетинаються по паралельним прямим, то геометричне місце точок рівновіддалених від цих площин, є чотири прямі a, b, c, d, паралельні до ліній їх перетину (мал. 7), які є перетином бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: \xF061\xF02C\xF020\xF062\xF020; \xF061\xF02C\xF020\xF067\xF020;\xF020\xF020\xF020\xF062, \xF067\xF020;

- у випадку, коли площини \x03B1, \x03B2, \x03B3 перетинаються в одній точці, шуканим геометричним місцем будуть чотири прямі, що проходять через точку перетину даних площин і належать бісекторним площинам двогранних кутів, утворених попарно даними площинами;

- порожня множина буде у випадку, коли площини \x03B1, \x03B2, \x03B3 паралельні між собою.

Розглянемо порівняння кривих другого порядку і деяких поверхонь обертання як геометричних місць точок, що мають одну і ту ж властивість на площині і в просторі.

На площині У просторі



1 2

11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.

12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом (, є два сегменти, що містять даний кут ( і спираються на даний відрізок АВ без точок А, В.

13. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсом.

14. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається гіперболою.

15. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходить через точку F, називається параболою.

.

17. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і

.

11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.

12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом (, є торова поверхня, одержана від обертання сегмента, що містить даний кут ( і спирається на даний відрізок АВ, навколо прямої АВ без точок А, В.

13. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсоїдом обертання.

14. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання.

15. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини (, яка не проходить через точку F, називається параболоїдом обертання.

.

17. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і

.





Слід відмітити, що між формою геометричного місця точок на площині і в просторі у більшості випадків існує зв’язок, наведений у таблиці.

На площині У просторі