Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння, Детальна інформація

Реферат з математики.

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

(1)

через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі

(2)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі

(3)

, то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву S

(4)

Далі, замість слів “різницеве рівняння” будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо задати початкові умови

(5)

(k=0, 1, 2,...), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в тотожність.



2. Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного РР

(6)



Звідси маємо, що РР має розв’язок:



.

(7)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,..., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).



Завжди має розв’язок відносно сталих С1, С2, ..., Сn.

Означення. Визначник

(8)

називається визначником Вронського.