МАТРИЦІ. ЗАГАЛЬНА ІНФОРМАЦІЯ, Детальна інформація

AE

Z

\

^

„

†

\x02C6

\x0160

\x0152

\x017D

j

матриць () і () дорівнюють матриці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи — нулю (за теоремою 2). Отже, А-1А = АА-1 = Е.

Покажемо, що А-1— єдина обернена матриця. Нехай А" — ще одна обернена матриця, тоді

А-1 = А-1Е = А-1(АА") = (А-1А)А" = ЕА" = А".

Ранг матриці

min (m, n).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку матриці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків ЇЇ мінор ів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Аmхn, причому

min(m, n);

2) r (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k – 1.

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Простіший метод грунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1].

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Основні означення

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими х1 х2, ..., хn називається система виду

( )

Числа аij, і = 1, 2, .... m; j = 1, 2, ..., n біля невідомих називаються коефіцієнтами, а числа bi — вільними членами системи ( ).