Аналітичне (символічне) представлення неперервних перетворень R1, що зберігають фрактульну розмірність хаусдорфа-безиковича, Детальна інформація

Реферат з вищої математики

на тему:

Аналітичне (символьне) представлення

неперервних перетворень R1,

що зберігають фрактальну розмірність

Хаусдорфа-Безиковича

Під аналітичним заданням (представленням) перетворення ми розуміємо формули, що встановлюють зв'язок між координатами довільної точки M простору Rn і її образу M' в одній і тій же системі координат.

–– розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини A.

Як відомо, група Hf перетворень, що зберігають фрактальну розмірність, містить групу афінних перетворень, яка, в свою чергу, містить підгрупу перетворень подібності, але далеко цими перетвореннями не вичерпується [1-3].

Як свідчать ''тонкі'' приклади фрактальних перетворень відрізка [0;1], наведені в [1], надії на те, що адекватна для них система координат може відносно просто визначатись, немає. Вона має ''враховувати'' складну локальну будову фрактальних множин (фракталів).

Обмежимось поки що розглядом неперервних перетворень відрізка [0;1]. Як відомо, до таких відносяться лише строго монотонні функції f(x), такі, що f(x)=F(x) або f(x)=1- F(x), де F(x) –– неперервна функція розподілу ймовірності на [0;1].



Позначатимемо через



–– інтервал з тими ж самими кінцями, вважаючи, що завжди

.

Нехай задана система Ф подрібнюючих розбиттів [0;1]:

,

,

і

).

Вона визначає систему координат на [0;1], тобто сукупність умов для визначення положення точки.

Справді, множина

,

. З іншого боку, для кожної точки відрізка [0;1] існує нескінченна послідовність вкладених відрізків



ми символічно будемо зображати



Таку систему подрібнюючих розбиттів Ф називатимемо локально тонкою системою координат на [0;1], скорочено: ЛТСК.

j